从矩阵的谱半径到神经网络梯度消失

Posted 2023-02-19 LeonYi

一、矩阵的范数

 

二、矩阵的谱半径

虽然，谱半径小于等于任意矩阵范数。

但是，也必存在一个算子范数，小于等于谱半径+一个小的正数

 

从线性方程组的迭代法的收敛性到矩阵的幂的收敛。

 

 

 

谱半径小于1，也必存在一个算子范数，小于1；

若矩阵的范数小于1， 当k趋于无穷时，矩阵任意范数的k次幂肯定趋近于0，这就使x(k)逼近其解。也就是说，矩阵的幂趋近于0矩阵。

 

三、深度神经网络的梯度消失

在训练深层的神经网络时，例如MLP或RNN，由于反向传播的链路过长，从而涉及到多次的矩阵的连乘（激活函数关于净输入的偏导数矩阵、当前层输入关于净输入的偏导数矩阵，可以视为一个矩阵）。

如果这个矩阵的谱半径小于一，那么随着反向传播的进行，回传的梯度信号衰减地越厉害，这使得越是网络浅层的参数地梯度越微弱，那么其越难得到很好地更新。

参考： 数值分析ppt