线性变换相关

Posted 2023-02-18 infinities

FWT

快速沃尔什变换，与 FFT 有极大相似之处。

用于做一类形如 \\(F_c\\sum_a \\oplus b=cA_a\\times B_b\\) 的问题，其中 \\(\\oplus\\) 是一种线性变换，即 \\(a \\oplus b\\) 是将 \\(a,b\\) 两个二进制数的第 \\(i\\) 分别做变换 \\(\\oplus_i\\)（一般是异或，与，或中的一种）。

做法和 FFT 类似，计算 \\(A * B\\) 只需要先 \\(FWT(A),FWT(B)\\) 然后将对应位的点值乘起来得到 \\(C\\)，则 \\(F=IFWT(C)\\)。

证明懒得写。这玩意的本质是对于这种线性变换的每一位构造出一个变换矩阵，也就是按位独立。

所以可以只对部分位做，也可以对某一位做不同的运算。

板子

矩阵树定理+按位FWT

线性基/正交线性基

将若干个 \\(k\\) 位二进制数看成一堆 \\(k\\) 维向量，每维坐标取值只有 \\(0,1\\)。

定义向量加法 \\(a+b\\) 为不进位加法，即二进制下的异或。

则可以定义线性基 \\(A\\) 就是若干 \\(k\\) 维向量张成的线性空间 \\(span(A)\\)，也就是任选向量做加法所能得到的向量的集合。

定义向量内积 \\(a·b\\) 为 \\(popcount(a\\&b)\\mod 2\\)，则有结合律 \\(w·(a+b)=w·a+w·b\\)。

称两数 \\(a,b\\) 正交当且仅当 \\(a·b=0\\)。

这个结合律也可以用来证明 FWT 异或卷积。

线性基的秩：可以简单理解成构造出的线性基中插入的数的数量。

线性基的性质：对于线性基通过线性基中任意数异或得到的数 \\(v\\)，有 \\(2^m-k\\) 种选子集异或和的方法得到，其中 \\(m\\) 是向量个数。

集合幂级数

可以看作二进制意义下的生成函数。

正交线性基

设 \\(A\\) 的正交线性基 \\(A\'\\) 满足：\\(span(A\')\\) 是 \\(span(A)\\) 的正交补空间，也即 \\(span(A\')\\) 中所有数和 \\(span(A)\\) 中所有数正交。正交线性基满足：对于 \\(n\\) 维向量构成的秩为 \\(k\\) 的线性基 \\(A\\)，其正交线性基 \\(A\'\\) 的秩是 \\(n-k\\)。不难看出通过这一点，可以将复杂度优化成 \\(2^\\fracn2\\)。

构造方法：首先正交线性基按每个数的最低二进制位存储，这些位恰好对应按高位存储的原线性基没有插入的几个位。对于一个最低位 \\(i\\)，其第 \\(j\\) 位为 1 当且仅当原线性基中最高位是 \\(j\\) 的，第 \\(i\\) 位也是 1。不难发现构造复杂度 \\(O(n^2)\\)。

线性基求交（其实很直观）：对于若干线性基求交，答案是这些线性基的正交线性基的并的正交线性基。

正交线性基性质：

对于线性基 \\(A\\)，设其秩是 \\(k\\)，设其集合幂级数=如下：若 \\(u\\subset span(A)\\)，则 \\([x^u]A=1\\)，那么对 \\(A\\) 做 FWT 之后得到的 \\(A_1\\) 有什么性质？

结论是 \\(A_1\\) 的每个系数要么是 \\(2^k\\)，要么是 \\(0\\)，且满足 \\([x^w]A_1=2^k\\) 的 \\(w\\) 的所有取值就是 \\(span(A\')\\)，其中 \\(A\'\\) 是 \\(A\\) 的正交线性基。

CF1336E1/2

逆天题。需要用到正交线性基和 FWT 的各种性质。