Unity Shader:相关数学基础

Posted 2023-03-24

参考技术A 本文同时发布在我的个人博客上： https://dragon_boy.gitee.io

有左手坐标系和右手坐标系两种，Unity使用的是右手坐标系。

我们使用两个或三个以上的实数来表示一个点的坐标，如 。

矢量是指n维空间中一种包含了模和方向的有向线段。矢量的表示方法和点类似，如 。

矢量通常由一个箭头表示，由起点指向终点。矢量常被用于表示相对于某个点的偏移，只要矢量的模和方向保持不变，无论在哪里，都是同一个矢量。

对乘法，将矢量的每个分量和标量相乘即可：

对除法，同理： ，标量需非零。

两个矢量加减法，把对应的分量进行相加或相减即可：

几何意义上，矢量相加即前者起点连接至后者终点，矢量相减即后者终点指向前者终点。

矢量的模即矢量的长度：

单位矢量即模为1的矢量。将某个非零矢量转化为单位矢量的过程称为归一化。

矢量之间的乘法有两种，点积和叉积。

点积公式有两个：
1：

2( 为两个矢量的夹角)：

点积的结果在几何意义上是获得矢量 在 上的投影与 的模的乘积，如果二者都是单位矢量，那么点积结果就是前者在后者上的投影。

叉积公式:

下面是另一种表示：

上述表明矢量叉积的结果的模是两矢量构成平行四边形的面积。

在几何意义的上，叉积的结果是一个新的矢量，分别垂直于 和 ，且沿 、 和叉积的方向可构成一个右手坐标系。

矩阵有行列之分，以 矩阵为例：

矢量可以看作时 的列矩阵或 的行矩阵。

将矩阵的每个元素和标量相乘即可。

两个矩阵相乘，要求前一个矩阵的列数等于后一个矩阵的行数，相乘得到的矩阵的行数是第一个矩阵的行数，列数是第二个矩阵的列数。如 的维度是 ， 的维度是 ，那么 的维度是 。

矩阵的乘法即前一个矩阵的每一行( 行)与后一个矩阵的每一列( 列)相乘(可看作行构成的矢量和列构成的矢量点积)，每次相乘的结果填写在对应的 行 列上。

注意，矩阵乘法不满足交换律，但满足结合律。

方阵即行列数相等的矩阵。

同时，如果除对角线的元素外全是0的方阵称为对角矩阵。

针对上述的对角矩阵，如果对角线的元素全是0的话，那么就称为单位矩阵。

对于一个 的矩阵 ,它的转置 为 的矩阵。转置运算即将原矩阵的行列翻转。原矩阵的 行变为 列， 列变为 行。

注意，矩阵的转置的转置等于原矩阵。

矩阵的串接的转置等于反向串接各个矩阵的转置：

只有方阵才有逆矩阵。

一个矩阵和它的逆矩阵的乘积为单位矩阵：

零矩阵没有逆矩阵。如果一个矩阵有逆矩阵，那么这个矩阵是可逆的，或非奇异的，相反则是不可逆的或奇异的。

如果一个矩阵的行列式为不为0，那么该矩阵就是可逆的（具体不解释）。

注意，逆矩阵的逆矩阵为原矩阵。

单位矩阵的逆矩阵是它本身。

转置矩阵的逆矩阵是逆矩阵的转置：

矩阵串接相乘后的逆矩阵等于反向串接各个矩阵的逆矩阵：

注意，如果某个矩阵或矢量进行了一个矩阵变化，那么使用逆矩阵可以还原这个变换:

如果一个方阵和它的转置矩阵的乘积是单位矩阵，那么这个方阵就是正交矩阵：

将正交矩阵与逆矩阵的概念结合起来，就可以得到，如果一个矩阵正交，那么它的转置矩阵和逆矩阵相等:

上述式子在实际计算中非常有用，因为逆矩阵的计算量很大(涉及伴随矩阵)，所以如果能判断某个变换矩阵是正交的话，可以很简单地用转置矩阵代替它的逆矩阵进行计算。

那么如何判断一个矩阵是否正交，我们把一个矩阵的列看作是一个矢量，称为基矢量，那么根据正交矩阵定义：

根据上述等式，得：

, , 都是单位矢量，且两两垂直。那么满足这样条件的矩阵的就是正交矩阵。

在Unity中，常将矢量当做是列矩阵来使用，即放到矩阵的右边来进行乘法。这种情况下，矩阵乘法通常是右乘，即：

变换是将一些数据通过某种方式进行转换的过程。

一个非常常见的变换是线性变换，指的是可以保留矢量加和标量乘的变换。数学公式为：

缩放是一种线性变换，旋转也是一种线性变换，我们可以使用一个 的矩阵就可以对一个三维向量进行线性变换。除此之外还有错切，镜像，正交投影。

但平移变换不是线性变换，我们不能使用一个 的矩阵对一个三维向量进行变换。

由此出现仿射变换，即合并线性变换和平移变换的变换类型。仿射变换使用一个 的矩阵来表示，这样我们需要将矢量扩展到四维空间下，即齐次坐标空间。

对于一个三维向量，我们扩展一个维度，分量称为 。对于坐标， 常设为1，而对于方向，常设为0。因为我们只想对位置进行平移变换，方向不行。

我们使用一个 的矩阵来表示平移、旋转和缩放。一个基础的变换矩阵可以分解为4个部分：

表示旋转缩放的矩阵， 表示平移。

下面是一个平移矩阵(针对点)的例子：

如果是方向矢量的话，由于 分量为0，平移变换不会有影响：

平移变换的逆矩阵就是反向平移得到的矩阵：

平移矩阵并不是正交矩阵。

下面是一个缩放矩阵（针对点）的例子：

对方向矢量缩放：

如果 ，那么这样的缩放为统一缩放,否则为非统一缩放。由于非统一缩放会改变角度和比例信息，所以针对方向向量的缩放不能使用上述的方式。

缩放矩阵的逆矩阵如下：

缩放矩阵不是正交矩阵。

上面的矩阵只适合沿坐标轴方向缩放，如果要在任意方向缩放，就要使用一个复合变换，先缩放轴，再沿坐标轴缩放。

绕x轴旋转:

绕y轴旋转：

绕z轴旋转：

旋转矩阵是正交矩阵。

大多数情况下，将平移、旋转、缩放结合起来的顺序往往是：先缩放，后旋转，再平移，也就是：

注意，针对旋转的顺序，Unity的顺序是zxy，即旋转变换矩阵是：

旋转时的坐标系有两种可以选择：

在上述两种方式中，旋转的结果不一样，Unity是第一种。

模型空间即模型的局部坐标系，在Unity中是左手坐标系。

世界空间被用来描述物体在场景中的位置，在Unity中，世界空间是左手坐标系。

将顶点从模型空间变换到世界空间的变换称为模型变换(Model)。这一变换通常由 组成。

也被称为摄像机空间。

摄像机决定了我们渲染游戏所使用的视角。在观察空间中，摄像机位于原点，在Unity中，+x指向摄像机的右方，+y指向摄像机的上方，+z指向摄像机的后方，即摄像机指向-z轴。

将顶点从世界空间转换到观察空间的变换为观察变换(View)。

为得到顶点在观察空间中的位置，有两种方法：一是计算观察空间的三个坐标轴在世界空间下的表示，然后构建出从观察空间变换到世界空间的变换矩阵，再对矩阵求逆来得到从世界空间变换到世界空间的矩阵。二是想象平移整个观察空间，让摄像机的原点位于世界坐标的原点，坐标轴与世界空间的坐标轴重合即可。

这里使用第二种方法，即想办法让摄像机变换到世界空间的原点即可(注意，由于观察空间使用右手坐标系，因此需要对z分量取反)。

将顶点从观察空间转换到裁剪空间的变换矩阵称为裁剪矩阵，也被称为投影矩阵(Projection)。裁剪空间由视锥体决定。

视锥体是空间中的一块区域，视锥体内的区域是摄像机可以看到的空间。视锥体由六个平面构成，这些平面称为裁剪平面。视锥体有两种类型，透视投影和正交投影。

在视锥体的裁剪平面中有两块很特殊，分别称为近裁剪平面和远裁剪平面，它们决定了摄像机可以看到的深度范围。

投影矩阵有两个目的：

我们利用上图的参数可以计算出近裁剪平面和远裁剪平面的高度：

裁剪平面的宽度我们可以通过横纵比得到。假设摄像机的横纵比为 :

根据上述信息，投影矩阵为：

使用上述投影矩阵后：

可以看到，投影矩阵本质上是对x、y、z坐标进行一些缩放，同时z分量也进行了平移，缩放的目的是为了方便裁剪。此时w分量不再是1，而是-z，通过这个w，我们可以判断一个顶点是否在视锥体内，在的话必须满足下面条件：

透视投影后，空间从右手坐标系变为左手坐标系。

假设横纵比为 ，那么：

正交投影矩阵：

使用正交投影矩阵后：

使用正交投影后，w分量仍是1。

这一步的变换，我们会得到真正的像素位置。

将顶点从裁剪空间投影到屏幕空间有两个步骤：首先进行透视除法，用x、y、z分量除以w分量。这一步得到的坐标被称为NDC，经过透视除法的裁剪空间变换到一个立方体内：

对于正交投影没什么区别。

在Unity中，屏幕空间左下角的像素坐标是(0,0)。接下来就是将NDC缩放值屏幕坐标系。

透视除法和屏幕映射的过程总结如下：

法线是一个方向矢量，垂直于表面，与其垂直的一个矢量被称为切线。

切线由两个顶点之间的差值计算得来，因此可以使用变换顶点的变换矩阵来变换切线。假设不考虑平移变换，变换后的切线为：

不过，如何直接这么变换的话，法线就有可能不垂直于表面了：

下面我们可以来推导一下正确的法线变换矩阵。

首先，切线与法线垂直，即 ，假设变换法线的矩阵为 ，变换后法线仍与切线垂直，那么：

经推导得：

由于 ，如果 ，则上式成立，即 。

如果变换矩阵 是正交矩阵，那么G = M_A->B，当然，这限于只包含旋转变换。如果只包含旋转和统一缩放，那么 。

内置变量： Built-in shader variables
内置方法： Built-in shader helper functions