什么是协方差与相关系数？协方差矩阵如何计算？np.cov函数

Posted 2023-03-23

参考技术A

协方差 （Covariance）在概率论和统计学中用于衡量两个变量的总体误差。而方差是协方差的一种特殊情况，即当两个变量是相同的情况。

协方差的计算公式如下所示：

方差的计算公式如下所示：

可以看到协方差是度量两个变量的总体误差，而方差只考虑单变量的离散程度。

如果连个变量相互独立，则协方差为零。

则它的协方差矩阵计算公式为：

我们将该矩阵命名为矩阵A，这个矩阵共有三种属性，每种属性有5个变量，我们需要计算学科与学科之间的协方差，综合在一起就构成了协方差矩阵。

我们将语文、数学、英语分别编号为1、2、3，则它们之间的协方差记为E11、E12、E13、E22、E23、E33，最终该矩阵的协方差矩阵为：

可以根据协方差计算公式进行计算：

首先，我们需要得到这三科的平均成绩：

然后用矩阵A减去平均成绩（三科分别减去各科的均值），得到新的矩阵：

E12的计算公式为：

由于样本减均值刚刚已经计算完成，这里直接进行计算：

同理，E13的计算公式为：

根据Eij=Eji的性质，得到新的矩阵：

然后除以样本的个数5，得到最后的协方差矩阵：

知道了协方差矩阵如何计算之后我们来使用numpy内置的函数 cov() 来计算协方差矩阵。假设有两个变量 x0 和 x1 ，有三组观测(0,2)(1,1)和(2,0)。

值得注意的是， np.cov(x) 函数的默认输入矩阵x每一行代表一个特征，每一列代表一个观测，所以在进行协方差矩阵计算的时候需要对输入矩阵进行转置，或者将默认参数设置为False，如 np.cov(x,rowvar=False) 。

输出：

亦或者：

输出：

相关系数是研究变量之间线性相关程度的量。

相关系数的计算公式如下所示：

可以表示X和Y线性关系的紧密程度.

参考：
协方差 - 百度百科
相关系数 - 百度百科
协方差矩阵概念