树上统计问题

Posted 2023-03-23 dbxxx

树上统计问题【一】

在树上，对于每个点 \\(u\\)，设 \\(c(u)\\) 为点对 \\((s, t)\\) 的数量，满足 \\(s \\ne t\\)，且 \\(s\\) 到 \\(t\\) 的路径经过点 \\(u\\)。

要求用总共 \\(\\mathcal O(n)\\) 的复杂度，求出 \\(c\\) 数组。

我们可以把要求的 \\(c(u)\\) 转化成：删除与点 \\(u\\) 相关联的所有边后，有多少个点对不再联通。

只要点数 \\(n \\ne 1\\)，这样删除就一定形成 \\(k \\ge 2\\) 个连通块。设大小分别为 \\(s_1, s_2, \\ldots,s_k\\)，那么答案就是 \\(s_1 \\times (n - s_1) + s_2 \\times (n - s_2) + \\ldots + s_k \\times (n - s_k)\\)。

给原树随便定个根，那么形成的连通块分别是：

• \\(u\\) 孤立点。构成 \\(1\\) 个连通块。
• \\(u\\) 的每个儿子对应的子树。一个儿子，对应一个子树，对应 \\(1\\) 个连通块。
• \\(u\\) 的所有祖先。如果 \\(u\\) 不是根，这里就构成 \\(1\\) 个连通块。

树上一次 dfs，上面三种连通块的大小都能很方便得到。于是做到总复杂度 \\(\\mathcal O(n)\\)。

例题：https://www.luogu.com.cn/problem/P4630。

该题先构建广义圆方森林，然后圆点设权 \\(-1\\)，方点设权为点双连通分量的大小后，再乘上对应的 \\(c(u)\\) 求和为答案。

因为是广义圆方森林，应该对每棵树分别统计答案，将每棵树的大小作为上面的 \\(n\\)，而不是总点数。

而且这个题要统计的 \\(s\\) 和 \\(t\\) 都要求是圆点，所以统计连通块大小时只应统计圆点。

【拓展】

在 无向图 上，对于每个点 \\(u\\)，设 \\(c(u)\\) 为点对 \\((s, t)\\) 的数量，满足 \\(s \\ne t\\)，且 \\(s\\) 到 \\(t\\) 的 所有路径 都经过点 \\(u\\)。

要求用总共 \\(\\mathcal O(n)\\) 的复杂度，求出 \\(c\\) 数组。

其实就是这个题 https://www.luogu.com.cn/problem/P3469

题目还是等价于断开 \\(u\\) 的连边后 \\(s\\) 和 \\(t\\) 不再联通。

这次，我们构建 dfs 搜索树，然后在树上 dfs，接着沿用上面的做法。但是，删除点 \\(u\\) 的连边后，以 \\(u\\) 的某个儿子 \\(v\\) 为根的子树可能跟 \\(u\\) 的祖先是连着的。

所以当且仅当 \\(\\mathrmdfn[v] \\ge \\mathrmlow[u]\\) 的时候，我们再将以 \\(v\\) 为根的子树当成一个连通块处理；否则，这个子树应该和 \\(u\\) 的祖先算在一个连通块中。

tarjan 同时统计就可以啦。