Tree数据结构

Posted 2023-02-15

参考技术A Binary Tree中每一个节点有两个子节点，区别于Binary Search Tree, Binary Tree子节点之间不存在大小顺序关系,首先来看几个简单的问题：
采用post order来计算树的大小

接着看如何判断两棵树是否相同：

另一个简单的例子计算数的高度或者最高深度：

那么如何删除tree呢？

这里采用了postorder的方式进行树的删除.

对于树这个数据结构，通常有几个基本的遍历方式perorder, inorder, postorder和level order，下面我们将分别详细描述这几种遍历方式：

preorder traversal一般有三种方式：recursive, iterative和Morris method. 从最简单的resursive的方式讨论：

对于recursive的方式，注意判断root是否为空，从recursive转化为iterative，我们需要辅助新的stack空间来实现：

这里需要注意的是每一次有新的元素推入栈中，需要判断这个元素是否为空，另外左右子节点的顺序与recursive的方式相反。我们知道每一个recursive的函数都可以又一个iterative的方式表示，因此我们可以通过模拟resursive function call来实现preorder遍历。

这里我们利用更新root本身来实现遍历，以上解法需要O(lgN)的额外空间，Morris方法可以不需要额外空间，具体如下：

这里仍然通过更新root来遍历，Binary Tree遍历问题有一个关键点就是当指针走到底层以后如何返回的问题，之前的方法都是通过stack或者function stack来解决，Morris方法有一个地方特别的是如果左子节点不为空的情况下，寻找它的前驱节点然后link起来，这样就可以让下层的节点和上层节点联系起来，等到第二次遍历的时候再让这种联系断开通过prev->right = nullptr;

Recursive method:

Iterative method:

Morris tree traversal:

相比较于preorder traversal, inorder Morris方法只是在节点打印的顺序上有一个改变就是当unlink前驱节点的同时打印当前节点，而preorder traversal是在link前驱节点的时候打印当前节点。

postorder在几个遍历方法中是比较复杂，首先看一下recursive的方法：

然后再看recursive的方法：

仔细分析不难看出这里使用了两个指针来记录节点访问情况，在第一个if中prev节点是curr节点的parent node, 因此curr还没有被访问于是将curr的子节点推入栈中。第二种情况prev是curr的左子节点，因此需要讲其右子节点推入栈中。其他情况则可以打印curr节点，更新prev节点。 对于recursive方法可以改写为以下这种形式：

从以上可以看出来刚开始一路向左推入栈中，然后检查right node是否被访问过p->right == q，以此来选择是否打印curr.另外还有一种省事的方法，即将preorder的方法将结果输入到一个stack中，然后反向输出即可：

PostOrder Morris方法比较复杂，需要utility function来辅助：

PostOrder Morris Tree Traversal在几个地方与之前有很大不同，首先用了临时节点dump,它的左子节点为root,并且注意cur是从临时节点开始的。其他逻辑结构与之前两种遍历类似，不同的地方是需要一个子过程反向输出两个节点之间所有的节点。

接下来就是level order traversal,与之前遍历方法的最大变化就是使用queue来代替stack的作用：

再写一个recursive版本, 这里需要几个辅助函数，一个是确定树的高度，另一个打印制定高度的node, 这里的时间复杂度是O(n^2)：

下面来看几个level order traversal 的变种题目， level order in a zigzag fashion ,如果采用recursive的方式可以在上面的解答中加入一个变量判断是否需要反向输出, 其时间复杂度与前面一致都是O(n^2), 具体过程如下：



除此之外，iterative的解法则需要额外的空间stack来储存，并且记录当前层和下一层的node个数以及当前层访问过的node个数：

仔细发现，这道题的构架可以用来进行一起关于level order这样的操作，也就是说通过记录当前层和下一层的node个数可以知道目前是否访问到当前所有的node，用来判断是否要进行更新。
下面是另外一种level order traversal的变种：find next right node of a given key in level order traversal

再看一个简单的例子， Sum of all the numbers that are formed from root to leaf paths. Each node has a digit from 1 to 9.

不难看出，这里使用了preorder的思想来计算所有node的之和。