树形DP树上拓扑序计数

Posted 2023-02-22 行码棋

树上拓扑序计数|树形DP

较好的观感

题目链接：
https://ac.nowcoder.com/acm/contest/38630/F

思路

每个公司是一棵树，然后每个公司可以看做连在一个虚拟的根上。每个公司的计算方案实际上就是计算这棵树的拓扑序的个数。用树形DP求解。

$f[u]$ : 以u为根的子树的拓扑序数

$sz[u]$ ： 以u为根的子树的大小（节点的数量）

当树为二叉树时，将两个子树v1,v2进行合并：即先把各子树的方案数乘起来算出总方案，然后考虑各子树元素的相对排列顺序，即在总的节点个数中选sz[v1]排在前面的sz[v1]个位置，剩下的排在后面，保证每颗子树的相对拓扑序不变。

$$f[u]=f[v1]\ast f[v2]\ast C(sz[v1]+sz[v2],sz[v1])$$

例子：u节点有四颗子树，子树大小分别为a, b, c, d，则方案数为：
$$\begin{gathered} f[u]=f[a]\ast f[b]\ast f[c]\ast f[d]\ast C(a+b+c+d,a)\ast C(b+c+d,b)\ast C(c+d,c) \\ =f[a]\ast f[b]\ast f[c]\ast f[d]\ast \frac{(a+b+c+d)!}{a!(b+c+d)!}\ast \frac{(b+c+d)!}{b!(c+d)!}\ast \frac{(c+d)!}{c!d!} \\ =f[a]\ast f[b]\ast f[c]\ast f[d]\ast \frac{(a+b+c+d)!}{a!b!c!d!} \end{gathered}$$

推广到一般树：
$$f[u]=(\prod _{v\in son(u)}f[v])\ast \frac{(sz[u]-1)!}{\prod _{v\in son(u)}sz[v]!}$$
换一下形式：
$$f[u]=(sz[u]-1)!\ast \prod _{v\in son(u)}\frac{f[v]}{sz[v]!}$$

拓扑序数量还可以这样计算：
$$n!\ast \prod _{i=1}^n\frac{1}{sz[i]}$$

代码1

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
using ll = long long;
using pii = pair<int, int>;
using pll = pair<ll, ll>;
using arr = array<int, 3>;
using vi = vector<int>;
using vl = vector<ll>;
const int N = 1e5 + 5, M = N;
const int mod = 1e9 + 7;

ll fac[N], inv[N];
ll ksm(ll a, ll b)

	ll res = 1;
	while(b)
	
		if(b & 1) res = res * a % mod;
		b >>= 1;
		a = a * a % mod;
	
	return res % mod;

void solve()

	int n;
	cin >> n;

	ll ans = 1, tot = 1;
	int cnt = 0;
	for(int i = 1; i <= n; i++)
	
		int c;
		cin >> c;
		cnt += c;
		vector<vi> g(c);

		for(int j = 1; j < c; j++)
		
			int u;
			cin >> u;
			u--;
			g[u].push_back(j);
		

		vi sz(c, 1);
		vl f(c, 1);
		function<void(int)> dfs = [&](int u)
		
			for(auto v : g[u])
			
				dfs(v);
				sz[u] += sz[v];
				(f[u] *= f[v] * inv[sz[v]] % mod) %= mod;
			
			(f[u] *= fac[sz[u] - 1]) %= mod;
		;
		dfs(0);
		(tot *= f[0] * inv[c] % mod) %= mod;
	
	ans = ans * tot % mod * fac[cnt] % mod;
	cout << ans << "\\n";

int main()

	ios::sync_with_stdio(false);
	cin.tie(0);

	fac[0] = 1;
	for(int i = 1; i < N; i++)
		fac[i] = fac[i - 1] * i % mod;
	inv[N - 1] = ksm(fac[N - 1], mod - 2);
	for(int i = N - 2; i >= 1; i--)
		inv[i] = (i + 1) * inv[i + 1] % mod;

	int t;
	t = 1;
	// cin >> t;
	while(t--)
		solve();
	return 0;

代码2

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
using ll = long long;
using pii = pair<int, int>;
using pll = pair<ll, ll>;
using arr = array<int, 3>;
using vi = vector<int>;
using vl = vector<ll>;
const int N = 1e5 + 5, M = N;
const int mod = 1e9 + 7;

// assume -P <= x < 2P
int norm(int x) 
    if (x < 0) 
        x += mod;
    
    if (x >= mod) 
        x -= mod;
    
    return x;

template<class T>
T power(T a, ll b) 
    T res = 1;
    for (; b; b /= 2, a *= a) 
        if (b % 2) 
            res *= a;
        
    
    return res;

struct Z 
    以上是关于树形DP树上拓扑序计数的主要内容，如果未能解决你的问题，请参考以下文章
 
 树形DP树上拓扑序计数
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 有趣计数题选做
 [HEOI2013]SAO
 树形DP
 HDU 2196 Computer (树上最长路)树形DP