已知分布函数如下，求概率密度，请写出具体步骤

Posted 2023-05-16

概率密度函数是针对连续性随机变量而言的，假设对于连续性随机变量X，其分布函数为F(x)，概率密度为f(x)。首先，对于连续性随机变量X，其分布函数F（x）应该是连续的，然而你给出的这个函数在x=-1， x=1点都不连续，所以是没有概率密度函数的，可能你在求解分布函数的时候求错了。

分布函数（英文Cumulative Distribution Function, 简称CDF），是概率统计中重要的函数，正是通过它，可用数学分析的方法来研究随机变量。分布函数是随机变量最重要的概率特征，分布函数可以完整地描述随机变量的统计规律，并且决定随机变量的一切其他概率特征。

参考技术A

首先，对于连续性随机变量X，其分布函数F（x）应该是连续的，然而你给出的这个函数在x=-1， x=1点都不连续，所以是没有概率密度函数的，

如果F（x）求正确了，由定义F(x)=∫[-∞,x] f(y)dy可知F'(x)=f(x)，也就是分布函数的导数等于概率密度函数，所以你只需要在原来求出的分布函数基础上求导即可得到概率密度函数。

数学[英语：mathematics，源自古希腊语μθημα（máthēma）；经常被缩写为math或maths]，是研究数量、结构、变化、空间以及信息等概念的一门学科。

数学是人类对事物的抽象结构与模式进行严格描述的一种通用手段，可以应用于现实世界的任何问题，所有的数学对象本质上都是人为定义的。从这个意义上，数学属于形式科学，而不是自然科学。不同的数学家和哲学家对数学的确切范围和定义有一系列的看法。

参考技术B 概率密度函数是针对连续性随机变量而言的，假设对于连续性随机变量X，其分布函数为F(x)，概率密度为f(x)
首先，对于连续性随机变量X，其分布函数F（x）应该是连续的，然而你给出的这个函数在x=-1， x=1点都不连续，所以是没有概率密度函数的，可能你在求解分布函数的时候求错了！
如果F（x）求正确了，你可以按照下面的思路计算概率密度：

由定义F(x)=∫[-∞,x] f(y)dy可知F'(x)=f(x)，也就是分布函数的导数等于概率密度函数，所以你只需要在原来求出的分布函数基础上求导即可得到概率密度函数。
希望对你有帮助，如果满意请采纳！追问

我想问下当X=1的时候f(x)等于多少呢？不是直接求导就可以了吗

追答

如果是分段点的导数，那么应该利用导数的定义求，即
f'(x0)=lim Δy/Δx。。。。。。。。。。。。。。。。。Δx→0
=lim [f(x)-f(x0)]/(x-x0)。。。。。。。。。。。。x→x0
但是你给的题目中函数在x=1点不连续，所以不可导，也就是在x=1点导数不存在，没办法直接求导！

追问

为什么书上的答案是：
当x=-1时， f(x)=1/8
-1<x<1时， f(x)=5/16
x=1时，f(x)=1/4
其他时等于0
实在是看不懂，请帮忙解释下，多谢了

追答

明显答案给的这个函数在-1到1上的积分值不等于1，不满足概率密度函数的归一性！所以它不能作为随机变量的概率密度函数！

追问

我还是不太明白，能不能帮忙写出具体的步骤

追答

你给的分布函数不是连续的，
因为lim F(x)=12/16=3/4，当x→1-
lim F(x)=1, 当x→1+
F(x)在x=1点左右极限存在但不相等，所以在x=1点不连续。
而概率密度函数是针对连续型随机变量的，要求分布函数连续，你给的函数不连续，所以没办法求出概率密度函数哦！

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matlab 求已知概率密度函数的随机数生成

 

N=10000; %需要随机数的个数
a=zeros(N,1); %存放随机数的数列
n=0;
f1=@(t) 1./(1.2*pi*(1+5*(t-7.3).^2));
f2=@(t) 1./(1.05*pi*(1+6*(t-8.2).^2));
tt=linspace(0,24,1000);
ff=f1(tt).*(tt<=7.5)+f2(tt).*(tt>7.5);%根据公式计算概率密度
s=trapz(tt,ff);  %计算整个区间概率密度的积分
ff=ff/s;         %归一化概率密度
 
 
while n<N
    t=rand(1)*24;%生成[0,24]均匀分布随机数
    if t<=7.5
        f=f1(t)/s;
    else
        f=f2(t)/s;
    end         %计算对应密度函数值f(t)
    r=rand(1);  %生成[0,1]均匀分布随机数
    if r<=f     %如果随机数r小于f(t)，接纳该t并加入序列a中
        n=n+1;
        a(n)=t;
    end
end
 
%以上为生成随机数列a的过程，以下为统计检验随机数列是否符合分布
num=100;         %分100个区间统计
[x,c]=hist(a,num);    %统计不同区间出现的个数
dc=24/num;        %区间大小
x=x/N/dc;         %根据统计结果计算概率密度
 
bar(c,x,1); hold on;  %根据统计结果画概率密度直方图
plot(tt,ff,'r'); hold off; %根据公式画概率密度曲线