剑指Offer面试题：12 矩阵中的路径

Posted 2023-02-20 一只前端小马甲

算法不是金庸武侠小说里硬核的”九阳真经“，也不是轻量的”凌波微步“，它是程序员的基本功，如同练武之人需要扎马步一般。功夫好不好，看看马步扎不扎实；编程能力强不强，看看算法能力有没有。本系列采用leetcode题号，使用javascript为编程语言，每篇文章都会逐步分析解题思路，最终给出代码。文章一方面是记录笔者在刷题中的思路，已备学而时习之，另一方面也希望能跟大牛们多交流。有更高效的解法，或者文章有什么问题，都欢迎提出来，望诸位不吝赐教。

目录

• • 一、题目：矩阵中的路径
  • 二、小马甲思路
  • 三、小马甲题解
  • 四、总结

一、题目：矩阵中的路径

给定一个 m x n 二位字符网格 board 和一个字符串单词 word 。如果 word 存在于网格中，返回 true ； 否则，返回 false。

单词必须按照字母顺序，通过相邻的单元格内的字母构成，其中“相邻”单元格是那些水平相邻或垂直相邻的单元格。同一个单元格内的字母不允许被重复使用。

例如，在下面的 3x4 的矩阵中包含单词“ABCCED”（单词中的字母已标出）。

示例1:

输入：board = [[“A”,“B”,“C”,“E”],[“S”,“F”,“C”,“S”],[“A”,“D”,“E”,“E”]], word = “ABCCED”
输出：true

示例2:

输入：board = [[“a”,“b”],[“c”,“d”]], word = “abcd”
输出：false

提示：

• 1 <= board.length <= 200
• 1 <= board[i].length <= 200
• board 和 word 仅由大小写英文字母组成

二、小马甲思路

题目给定了 word ，要求我们在矩阵 board 中找到相邻的字符组合而成，那么第一个字符从哪开始呢？不妨依照我们的直觉，选定 [0, 0]。

我们从 [0, 0] 格开始，模拟计算机匹配 word 的过程。

首先，[0, 0] 格（值为A）本身是匹配的，即 board[0][0] == word[0] ，我们将该格存下来。

其次，[0, 0]格相邻的位置有4个：上[-1, 0]、下[1, 0]、左[0, -1]、右[0, 1]。

• 对于上[-1, 0]，其位于网格外，该格子不存在
• 对于下[1, 0], 其位于网格内，但board[1][0] $\ne$ word[1]，该格子不匹配
• 对于左[0, -1]，其位于网格外，该格子不存在
• 对于右[0, 1]，其位于网格内，且 board[0][1] == word[1]，该格子匹配 ，将其存下来

接着，我们访问 右[0, 1] 格（值为B）的4个相邻位置：上[-1, 1]、下[1, 1]、左[0, 0]、右[0, 2]。

• 对于上[-1, 1]，其位于网格外，该格子不存在
• 对于下[1, 1], 其位于网格内，但board[1][1] $\ne$ word[2]，该格子不匹配
• 对于左[0, 0]，其位于网格内，但本次路径中已经存在，该格子不匹配
• 对于右[0, 2]，其位于网格内，且 board[0][2] == word[2]，该格子匹配 ，将其存下来

然后，重复以上步骤，递归访问相邻4个格子，直到保存的字符串完全匹配word。

我们很幸运，从 [0, 0] 格开始，递归访问相邻格就能组合成匹配word的字符串，那如果现在有如下情况，匹配格位于矩阵内部呢？

按照我们之前的步骤，从 [0, 0] 格开始递归访问相邻格，永远不可能到达上图的A、M格。

因此，我们需要遍历矩阵的每个元素 board[x][y]，任何一个元素都可能作为word的起始点。

总结一下，我们有以下步骤：

1. 从 [0, 0] 格开始，判断该格是否匹配 word 首字母，若匹配，则将其保存，进入步骤2；反之，进入步骤3
2. 访问 [0, 0] 格的四个相邻格，满足匹配条件则保存该相邻格，再访问该相邻格的四个相邻格，递归访问，直到保存的字符串完全匹配word；若不能，则退出递归，删去最初保存的[0, 0] 相邻格，回溯
3. 访问 [x, y] 格的四个相邻格，满足匹配条件则保存该相邻格，再访问该相邻格的四个相邻格，递归访问，直到保存的字符串完全匹配word；若不能，则退出递归，删去最初保存的[x, y] 相邻格，回溯
4. 重复步骤3，直到遇到完全匹配word的网格，若没有，则没有完全匹配word的相邻网格

实际上，上述过程体现了经典的算法思想：回溯。

回溯是一种渐进式寻找并构建问题解决方式的策略。我们从一个可能的动作开始并试着用这个动作解决问题。如果不能解决，就回溯并选择另一个动作直到将问题解决。根据这种行为，回溯算法会尝试所有可能的动作（如果更快找到了解决办法就尝试较少的次数）来解决问题。¹

结合总结的步骤和回溯算法的概念，针对于这道题，我们解决问题的动作就是：访问一个网格，并递归访问该网格的相邻4个网格。

三、小马甲题解

我们可以感受到回溯算法还是比较符合直觉的，现在用代码来实现它。

首先来看下程序的整体结构，我们使用 solution 保存当前递归访问的网格路径，solution是个数组，每个元素也是数组，类似于[i, j]， 保存了网格的在矩阵中的位置信息。

同时我们不知道矩阵中哪个元素可以作为起始网格，因此需要遍历矩阵，将任意格 [i, j] 作为起始格，来执行我们的回溯算法findPath。

function exist(board, word) 
    let solution = [],
        m = board.length,
        n = board[0].length;

    for(let i=0; i<m; i++)
        for(let j=0; j<n; j++)
            if(findPath(board, i, j, solution, word))
                return true;
            
        
    
    return false;
;

下面来看看回溯算法的主体findPath，我们前面说了访问任意格时，若满足匹配条件isSafe，则将其存入路径。

function findPath(board, x, y, solution, word)
	if(isSafe(board, x, y, solution, word))
		solution.push([x, y]);
	


function isSafe(board, x, y, solution, word)
	// TODO

匹配条件我们在小马甲思路中已经提到了，网格必须在矩阵内，能组成word的前部分，且不是重复路径。

function isSafe(board, x, y, solution, word)
	let m = board.length,
		n = board[0].length;
		
	if(x>=0
	&& y>=0
	&& x<m
	&& y<n
	&& preMatch(board, x, y, solution, word)
	&& notInSolution(x, y, solution))
		return true;
	
	return false;


// 能组合匹配word前部分
function preMatch(board, x, y, solution, word)
	let str = "";
	
	for(let item of solution)
		str += board[item[0]][item[1]];
	
	str += board[x][y];
	
	return str === word.slice(solution.length+1);


// [x, y]不在solution中
function notInSolutin(x, y, solution)
	let list = solution.filter(item => item[0]===x && item[1]===y);

	return list.length === 0;

同时我们递归访问该格的4个相邻格。

function findPath(board, x, y, solution, word)
	//if(isSafe(board, x, y, solution, word))
		//solution.push([x, y]);

		if(findPath(board, x-1, y, solution, word))
			return true;
		
		if(findPath(board, x+1, y, solution, word))
			return true;
		
		if(findPath(board, x-1, y-1, solution, word))
			return true;
		
		if(findPath(board, x-1, y+1, solution, word))
			return true;
		
	//

接着给递归添加终止条件——保存的路径完全匹配word，当我们没有找到匹配路径时返回，并删除最初保存的[x, y]，完成回溯。

function findPath(board, x, y, solution, word)
	// 递归终止条件
	if(exactMatch(board, solution, word))
		return true;
	
	
	if(isSafe(board, x, y, solution, word))
		solution.push([x, y]);

		//if(findPath(board, x-1, y, solution, word))
		//	return true;
		//
		//if(findPath(board, x+1, y, solution, word))
		//	return true;
		//
		//if(findPath(board, x-1, y-1, solution, word))
		//	return true;
		//
		//if(findPath(board, x-1, y+1, solution, word))
		//	return true;
		//
		
		// 删除格[x, y]，回溯
		solution.pop();
	


function exactMatch(board, solution, word)
	// TODO

函数exactMatch判断保存路径是否完全匹配word，实现起来也很简单：solution的每个元素对应矩阵一个网格，网格值为一个字符，将solution所有元素对应网格字符顺序连接起来形成一个字符串，判断该字符串是否和word相等。

function exactMatch(board, solution, word)
	let str = "";

	for(let item of solution)
		str += board[item[0]][item[1]];
	

	return str === word;

四、总结

本文开始模拟了计算机遍历矩阵网格，递归访问相邻格不断求解、回溯直到完全匹配word的过程。接着，提出了一种渐进式解决问题的策略——回溯算法，并结合回溯算法对本题进行分析。最后，使用JavaScript实现了对本题的求解，题解的核心在于回溯算法，回溯算法的实现往往基于递归，因此对于递归终止条件的设置非常重要。

基础知识关键字：回溯法、递归

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1. 《学习JavaScript数据结构与算法》 第3版（图灵出品） ↩︎