等差数列各种公式

Posted 2023-05-11

包括一些Sn

一、
等差数列
如果一个
数列
从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个
常数
，这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的
公差
，公差常用
字母
d表示。
等差数列的
通项公式
为:an=a1n+(n-1)d
(1)
前n项和
公式
为:Sn=na1+n(n-1)d/2或Sn=n(a1+an)/2
(2)
以上n均属于
正整数
。
从(1)式可以看出，an是n的
一次函数
(d≠0)或
常数函数
(d=0)，(n，an)排在一条
直线
上，由(2)式知，Sn是n的
二次函数
(d≠0)或一次函数(d=0，a1≠0)，且
常数项
为0。
在等差数列中，等差中项:一般设为Ar，Am+An=2Ar,所以Ar为Am，An的等差中项，且为数列的
平均数
。
且任意两项am，an的关系为:an=am+(n-m)d
它可以看作等差数列
广义
的通项公式。
从等差数列的
定义
、通项公式，前n项和公式还可推出:a1+an=a2+an-1=a3+an-2=…=ak+an-k+1，k∈1,2,…,n
若m，n，p，q∈N*，且m+n=p+q，则有am+an=ap+aq，Sm-1=(2n-1)an，S2n+1=(2n+1)an+1，Sk，S2k-Sk，S3k-S2k，…，Snk-S(n-1)k…或等差数列，等等。
和=(首项+末项)×
项数
÷2
项数=(末项-首项)÷公差+1
首项=2和÷项数-末项
末项=2和÷项数-首项
末项=首项+(项数-1)×公差
等差数列的应用:
日常生活中，人们常常用到等差数列如:在给各种产品的
尺寸
划分
级别
时，当其中的最大尺寸与最小尺寸相差不大时，常按等差数列进行分级。
若为等差数列，且有an=m,am=n.则a(m+n)=0。
3.等差数列的基本性质
⑴公差为d的等差数列，各项同加一数
所得
数列仍是等差数列，其公差仍为d.
⑵公差为d的等差数列，各项同乘以常数k所得数列仍是等差数列，其公差为kd.
⑶若、为等差数列，则
a
±b
与ka
+b(k、b为非零常数)也是等差数列.
⑷对任何m、n
，在等差数列中有:a
=
a
+
(n-m)d，特别地，当m
=
1时，便得等差数列的通项公式，此式较等差数列的通项公式更具有一般性.
⑸、一般地，如果l，k，p，…，m，n，r，…皆为自然数，且l
+
k
+
p
+
…
=
m
+
n
+
r
+
…
(两边的自然数个数相等)，那么当为等差数列时，有:a
+
a
+
a
+
…
=
a
+
a
+
a
+
…
.
⑹公差为d的等差数列，从中取出等距离的项，构成一个新数列，此数列仍是等差数列，其公差为kd(
k为取出项数之差).
⑺如果是等差数列，公差为d，那么，a
，a
，…，a
、a
也是等差数列，其公差为-d;在等差数列中，a
-a
=
a
-a
=
md
.(其中m、k、
)
⑻在等差数列中，从第一项起，每一项(有穷数列末项除外)都是它前后两项的等差中项.
⑼当公差d＞0时，等差数列中的数随项数的增大而增大;当d＜0时，等差数列中的数随项数的减少而减小;d=0时，等差数列中的数等于一个常数.
⑽设a
1，a
2，a
3为等差数列中的三项，且a1
与a2
，a
2与a
3的项距差之比
=
d(
d≠-1)，则2a2
=
a1+a3. 参考技术A 等差数列的通项公式为：an=a1+(n-1)d (1)
前n项和公式为：Sn=na1+n(n-1)d/2或Sn=n(a1+an)/2 (2)
以上n均属于正整数。
等差中项：一般设为Ar，Am+An=2Ar,所以Ar为Am，An的等差中项，且为数列的平均数。
任意两项am，an的关系为：an=am+(n-m)d
从等差数列的定义、通项公式，前n项和公式还可推出：a1+an=a2+an-1=a3+an-2=…=ak+an-k+1，k∈1,2,…,n
若m，n，p，q∈N*，且m+n=p+q，则有am+an=ap+aq，Sm-1=(2n-1)an，S2n+1=(2n+1)an+1，Sk，S2k-Sk，S3k-S2k，…，Snk-S(n-1)k…或等差数列，等等。
和＝（首项＋末项）×项数÷2
项数＝（末项-首项）÷公差＋1
首项=2和÷项数-末项
末项=2和÷项数-首项
末项=首项+（项数-1）×公差本回答被提问者采纳

数列思维导图

思维导图

• 制作和使用本思维导图，目的是想说明：构造法求数列通项公式中的各种常见变形，最终都指向了等差数列的定义\(a_n+1-a_n=d\)或等比数列的定义\(\fraca_n+1a_n=q\)中的\(a_n\)的\(“\)内涵\(”\)。