从最大连续和问题看算法的时间复杂度

Posted 2023-05-07

参考技术A 参考紫书8.1章节。
最大连续和问题

在给定序列中找到最大连续和，该问题最简单的解答思路是将所有子序列的和求出，并找到最大值，但如果序列长度较大或序列中元素的值较大，计算需要的时间都将大幅增加。因此需要使用更优化的算法。以下列举四种算法，使用函数maxsum求出最大连续和，数组A存放给定序列，n表示序列长度。

求出所有子序列的和，逐个比较找出最大值，时间复杂度为n^3，当序列长度较长时，运算时间很可能超出要求。

使用前缀和将免去使用循环计算子序列和的部分，因此时间复杂度减少到n^2，但在n过大时仍然需要较多时间。

将序列划分为左右两个区间，并利用递归求出左区间，右区间的最大值，利用循环求出合并区间的最大值，最终比较得出结果。对这一题目使用分治法时maxsum函数使用了递归和一重循环，最终时间复杂度为nlogn，时间复杂度随n的增加而增加的幅度更小了。

同样使用前缀和计算子序列的和，在前面的解法中，子序列的和=S[j]-S[i-1]，只要将最小的S[i-1]记录下来，就可以直接用S[j]减去最小的S[i-1]，得到子序列的最大和，于是又省略了一种循环，时间复杂度被降到n。

若题目范围中n的可取值较大，我们就不太可能使用前几种时间复杂度的程序解答，若n的取值较小，则可以使用。

最大连续子矩阵和算法

最大连续子矩阵算法

暴力求解不可取
或许可以从 O(n)复杂度内求解最大连续子数组的算法 得到灵感

O(n²)复杂度求最大连续子矩阵和算法：

1. 创建一个新矩阵sum，sum[i][j]存放sun[i][0-j]的和
2. 每个候选矩阵由左上角matrix[i][j]和右下角的元素matrix[p][q]确定，这个候选矩阵的和为res += (sum[i-p][q] - sum[i-p][i-1])
3. 遍历矩阵，得到最大子矩阵和

代码

def getMaxSub(matrix):
    sum = []
    for line in matrix:
        rowSum = []
        s = 0
        for i in line:
            s += i
            rowSum.append(s)
        sum.append(rowSum)

    m = len(matrix)
    n = len(matrix[0])
    max = matrix[0][0]
    i = 0
    j = 0
    while(i<m):
        while(j<n):
            p = i
            while(p<m):
                q = j
                while(q<n):
                    res = 0
                    for row in range(i,p+1):
                        if(i==0):
                            res += sum[row][q]
                        else:
                            res += (sum[row][q] - sum[row][i-1])
                            if(res<0): break
                    max = res if max<res else max
                    q += 1
                p += 1
            j += 1
        i += 1
    print(max)