KMP算法

Posted 2023-02-05 超霸霸

串的朴素模式匹配算法

什么是字串匹配：

在主串中找到与模式串相同的字串并返回其位置，如主串google、模式串gle，则结果为3

算法思路：

相当于拿着模式串和主串对齐，对比其第一个字符。不相等则模式串往右移一位，相等则匹配剩下的字符，计算方式如下：
$$\begin{array}{cccccccc}& 1& 2& 3& 4& 5& 6& 7\\ S& w& a& n& g& d& a& o\\ T& g& d& a& & & & \end{array}$$
$$\begin{array}{cccccccc}k& 1& 2& 3& 4& 4& 4& 4\\ i& 1& 2& 3& 4& 5& 6& 7\\ j& 1& 1& 1& 1& 2& 3& 4\end{array}$$

缺点：

当某些字串与模式串能部分匹配时，主串的扫描指针i经常回溯，导致时间开销增加

朴素模式匹配算法代码：

// S为主串，T为模式串
int Index(String S, String T) 
    // i用来遍历主串
    // k用来标记当前匹配串的第一个字符
    // j用来遍历模式串
    int i = k = j = 1;
    while (i <= S.length && j <= T.length) 
        if (S[i] == T[j]) 
            i++;
            j++;
         else 
            k++;
            i = k;
            j = 1;
        
    
    // 用j是否超出边界作为成功标志
    if (j > T.length) 
        return k;
     else 
        return 0;
    

KMP算法

优点：

在上述朴素模式匹配算法中，当模式串第一个字符匹配时，j和i都继续++去匹配剩下的字符，但一旦当模式串第j个字符不匹配时，i和j都回溯，即模式串往右移动一格。但是其实大部分时候可以通过计算不回溯这么多（某些模式串中回溯到特点值就可保证最短不匹配）。例如：模式串google当j=5时不匹配，此时可发现只要i不变，j回溯到1即可满足最短不匹配，即模式串往右移了4格。KMP算法就是在i不回溯的情况下给出一个next数组用于表示当不匹配时j应该回溯到哪里，这样在模式匹配算法的基础上进一步优化了性能，解决了i经常回溯的问题。

求next数组：

$$next[j]=\{\begin{array}{ll}0,& \text{当j=1时}\\ 1,& \text{当j=2时}\\ 前j-1个字串的最长相等前后缀长度+1,& \text{当j>2时}\end{array}$$
前j-1个字串的最长相等前后缀长度：当前j-1个字串为abcab时，ab为前缀和后缀最长相等部分，结果为2；当前j-1个子串为abc时，没有前后缀相等部分，结果为0。
$$\begin{array}{ccccccc}序号j& 1& 2& 3& 4& 5& 6\\ 模式串& a& b& a& b& a& a\\ next[j]& 0& 1& 1& 2& 3& 4\end{array}$$

KMP算法代码：

int Index_KMP(String S, String T, int next[]) 
    int i = j = 1;
    while (i <= S.length && j <= T.length) 
        if (j==0 || S[i] == T[j]) 
            i++;
            j++;
         else 
            j = next[j];        // i不回溯，j查找next数组回溯
        
    
    if (j > T.length) 
        return i - T.length;    // 匹配成功
     else 
        return 0;
    

KMP算法的优化：

当模式串为google，j=4时。原KMP算法的next[4]=1，但是其实此处不需要再重新匹配第一位，所以应该优化为next[4]＝0。因此引入next的优化数组nextVal。
$$nextVal[j]=\{\begin{array}{ll}0,& \text{当j=1时}\\ next[j],& \text{当j>1 且 T[next[j]]!=T[j]时}\\ nextVal[next[j]],& \text{当j>1 且 T[next[j]]==T[j]时}\end{array}$$
序 号 j 1 2 3 4 5 6 模 式 串 a b a b a a n e x t [ j ] 0 1 1 2 3 4 n e x t V a l [ j ] 0 1 0 1 0 4 \\beginarray|c|c|c|c|c|c|c| \\hline 序号j&1&2&3&4&5&6\\\\ \\hline 模式串&a&b&a&b&a&a\\\\ \\hline next[j]&0&1&1&2&3&4\\\\ \\hline nextVal[j]&0&1&0&1&0&4\\\\ \\hline \\endarray 序号j模式串next[j]nextVal[j]​1a00​2b11​3a10​4b21​5a30​6a44​什么是KMP算法？KMP算法推导

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