树——哈夫曼树和哈夫曼编码

Posted 2023-02-03 牧鱼ys

定义

从树的根节点到任意节点的路径长度与该结点上权值的乘积，称为该结点的带权路径长度。树中所有叶结点的带权路径长度之和称为该树的带权路径长度，记为
$$WPL=\sum _{i=1}^n{w}_i{l}_i$$
WPL最小的二叉树称为哈夫曼树，也称最优二叉树

构造

给定n个权值分别为$w_1,w_2,...,w_n$的结点，构造哈夫曼树的算法描述如下:

1. 将这n个结点分别作为n棵仅含一个结点的二叉树，构成森林F。
2. 构造一个新结点，从F中选取两棵根结点权值最小的树作为新结点的左、右子树，并!
   将新结点的权值置为左、右子树上根结点的权值之和。
3. 从F中删除刚才选出的两棵树，同时将新得到的树加入F中。
4. 重复步骤2和3，直至F中只剩下一棵树为止。

从上述构造过程中可以看出哈夫曼树具有如下特点:

1. 每个初始结点最终都成为叶结点，且权值越小的结点到根结点的路径长度越大。
2. 构造过程中共新建了n-1个结点（双分支结点)，因此哈夫曼树的结点总数为2n一1。
3. 每次构造都选择⒉棵树作为新结点的孩子，因此哈夫曼树中不存在度为1的结点。

哈夫曼编码