树——哈夫曼树和哈夫曼编码

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定义

从树的根节点到任意节点的路径长度与该结点上权值的乘积,称为该结点的带权路径长度。树中所有叶结点的带权路径长度之和称为该树的带权路径长度,记为
W P L = ∑ i = 1 n w i l i WPL=\\sum^n_i=1w_il_i WPL=i=1nwili
WPL最小的二叉树称为哈夫曼树,也称最优二叉树

构造

给定n个权值分别为 w 1 , w 2 , . . . , w n w_1, w_2,..., w_n w1,w2,...,wn的结点,构造哈夫曼树的算法描述如下:

  1. 将这n个结点分别作为n棵仅含一个结点的二叉树,构成森林F。
  2. 构造一个新结点,从F中选取两棵根结点权值最小的树作为新结点的左、右子树,并!
    将新结点的权值置为左、右子树上根结点的权值之和。
  3. 从F中删除刚才选出的两棵树,同时将新得到的树加入F中。
  4. 重复步骤2和3,直至F中只剩下一棵树为止。

从上述构造过程中可以看出哈夫曼树具有如下特点:

  1. 每个初始结点最终都成为叶结点,且权值越小的结点到根结点的路径长度越大。
  2. 构造过程中共新建了n-1个结点(双分支结点),因此哈夫曼树的结点总数为2n一1。
  3. 每次构造都选择⒉棵树作为新结点的孩子,因此哈夫曼树中不存在度为1的结点。

哈夫曼编码

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