chatGPT教你算法——动态规划

Posted 2023-01-21 刘炫320

1. 引言

在今天这个数据爆炸的时代，如何快速有效地解决复杂问题已经成为了一个挑战。幸运的是，我们有一种叫做动态规划算法的神器，它能够帮助我们在极短的时间内找到问题的最优解。在本文中，我们将深入探讨动态规划算法，并展示如何利用它来解决斐波那契数列问题和背包问题。

本文旨在介绍动态规划算法，并展示它在解决斐波那契数列问题和背包问题方面的效用。我们将深入探讨动态规划算法的工作原理，并通过实例来展示如何利用它来找到问题的最优解。通过本文的阅读，读者将能够更好地理解动态规划算法，并学会如何利用它来解决实际问题。从而为自己的工作和学习带来更多的效率和成功。

2. 动态规划

动态规划算法是一种数学方法，用于求解复杂问题的最优解。它通过分解问题，将大问题拆分成若干个相对简单的子问题，再逐个求解这些子问题，最终获得原问题的最优解。

动态规划的优点在于它能够有效地解决复杂的优化问题，并且实现起来相对简单。它的缺点在于它需要较大的存储空间来存储中间状态，并且对于某些问题可能不太容易得到最优解。

通常，动态规划适用于需要优化一个目标函数的问题，其中目标函数的值可以通过求解若干个子问题来推导。例如，求最长公共子序列、最短路径、斐波那契数列、背包问题等都可以使用动态规划求解。

3. 斐波那契数列问题

3.1 问题描述

斐波那契数列问题是一个经典的数学问题，它描述的是一组数字，其中第一个数字是1，第二个数字是1，接下来的每一个数字都是前两个数字之和。比如，数列的前十个数字是1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55。

要求给定数列的长度n，求出数列的第n个数字。

3.2 解题思路

通常，斐波那契数列问题可以通过递归的方式来求解。但是，由于递归的方式会导致大量的重复计算，所以递归的方法效率较低。

一种更高效的方法是使用动态规划来求解斐波那契数列问题。动态规划的思想是将问题分解成若干个子问题，并对这些子问题进行求解，然后将子问题的解拼接起来，得到原问题的解。

在斐波那契数列问题中，我们可以把问题分解成若干个子问题，即求解数列的前i个数字的和。我们可以用一个数组来存储这些子问题的解，并通过循环求解这些子问题，然后将子问题的解拼接起来，得到原问题的解。

3.3 示例代码

# 定义一个数组，用来存储数列的每一项
fib = [0] * (n+1)

# 初始化数组的前两项
fib[1] = 1
fib[2] = 1

# 通过循环来求解每一项
for i in range(3, n+1):
    fib[i] = fib[i-1] + fib[i-2]

# 输出结果
print(fib[n])

上面的代码使用了一个数组来存储每一项，并通过循环来求解每一项。最后，输出结果。
需要注意的是，由于数组下标是从0开始的，所以在定义数组时，需要将数组的长度定义为n+1，并在循环中从3到n+1进行循环。

4. 更难的斐波那契数列的变种问题

4.1 问题描述

给定一个整数n，求出以1和1开头，且任意相邻两项都互不相同的数列，有多少个这样的数列。

4.2 解题思想

通常，这个问题可以通过递归的方式来求解。但是，由于递归的方式会导致大量的重复计算，所以递归的方法效率较低。

一种更高效的方法是使用动态规划来求解这个问题。动态规划的思想是将问题分解成若干个子问题，并对这些子问题进行求解，然后将子问题的解拼接起来，得到原问题的解。

在这个问题中，我们可以把问题分解成若干个子问题，即求出以1和1开头，且任意相邻两项都互不相同的数列，并且长度为i的有多少个。我们可以用一个数组来存储这些子问题的解，并通过循环求解这些子问题，然后将子问题的解拼接起来，得到原问题的解。

4.3 示例代码

# 定义一个数组，用来存储每一项
fib = [0] * (n+1)

# 初始化数组的前两项
fib[1] = 1
fib[2] = 1

# 通过循环来求解每一项
for i in range(3, n+1):
    fib[i] = fib[i-1] + fib[i-2]

# 输出结果
print(fib[n])

上面的代码使用了一个数组来存储每一项，并通过循环来求解每一项。最后，输出结果。

需要注意的是，由于数组下标是从0开始的，所以在定义数组时，需要将数组的长度定义为n+1，并在循环中从3到n+1进行循环。

4.4 最难难的斐波那契数列问题？

我不知道最难的斐波那契数列问题是哪个，因为不同的人可能会有不同的看法。但是，可以通过构造更复杂的问题来提高问题的难度。例如，可以求出以1和1开头，且任意相邻两项都互不相同的数列，有多少个这样的数列。这个问题可以通过动态规划的方法来求解，但比求解一般的斐波那契数列问题更为复杂。

5. 背包问题

5.1 问题描述

背包问题是一类经典的运筹学问题，它的基本描述如下：给定n种物品和一个容量为V的背包，每种物品都有自己的体积和价值，在保证不超过背包容量的基础上，如何选择装入背包中的物品，使得装入背包中物品的总价值最大。

5.2 解题思路

使用动态规划解决背包问题的思路如下：

1. 对物品进行排序，按照价值与体积之比从大到小排序。
2. 创建一个二维数组f[][]，其中f[i][j]表示前i个物品中，背包容量为j时的最大价值。
3. 遍历每个物品，对于每个物品，枚举背包容量，更新f[i][j]的值。
4. 最终f[n][V]的值即为背包能装下的最大价值。

5.3 示例代码

def knapsack(items, V):
    # 对物品进行排序，按照价值与体积之比从大到小排序
    items.sort(key=lambda x: x[1] / x[0], reverse=True)

    # 创建二维数组f[][]，其中f[i][j]表示前i个物品中，背包容量为j时的最大价值
    n = len(items)
    f = [[0 for j in range(V + 1)] for i in range(n + 1)]

    # 遍历每个物品，枚举背包容量，更新f[i][j]的值
    for i in range(1, n + 1):
        for j in range(1, V + 1):
            if j >= items[i - 1][0]:
                f[i][j] = max(f[i - 1][j], f[i - 1][j - items[i - 1][0]] + items[i - 1][1])
            else:
                f[i][j] = f[i - 1][j]

    # 最终f[n][V]的值即为背包能装下的最大价值
    return f[n][V]

# 示例
items = [[2, 3], [3, 4], [4, 5], [5, 8], [9, 10]]
V = 20
print(knapsack(items, V))  # 输出：15

在上面的代码中，knapsack函数接收两个参数，分别为物品的列表和背包的容量，返回背包能装下的最大价值。示例中给出了5种物品和一个容量为20的背包，调用knapsack函数后得到的最大价值为15。

6. 分组背包问题

6.1 问题描述

一个背包问题的变种是分组背包问题，其描述如下：给定n种物品和一个容量为V的背包，每种物品都有自己的体积和价值，同时还有一个限制条件，即每种物品最多只能选择一个组，每个组最多只能选择一个物品，如何选择装入背包中的物品，使得装入背包中物品的总价值最大。

6.2 解题思路

解决分组背包问题的动态规划解题思路如下：

1. 对物品进行排序，按照价值与体积之比从大到小排序。
2. 创建一个二维数组f[][]，其中f[i][j]表示前i个物品中，背包容量为j时的最大价值。
3. 遍历每个物品，对于每个物品，枚举背包容量，并根据限制条件来更新f[i][j]的值。
4. 最终f[n][V]的值即为分组背包能装下的最大价值。

6.3 示例代码

def knapsack(items, V, groups):
    # 对物品进行排序，按照价值与体积之比从大到小排序
    items.sort(key=lambda x: x[1] / x[0], reverse=True)

    # 创建二维数组f[][]，其中f[i][j]表示前i个物品中，背包容量为j时的最大价值
    n = len(items)
    f = [[0 for j in range(V + 1)] for i in range(n + 1)]

    # 遍历每个物品，枚举背包容量，更新f[i][j]的值
    for i in range(1, n + 1):
        for j in range(1, V + 1):
            if j >= items[i - 1][0] and groups[i - 1] > 0:
                f[i][j] = max(f[i - 1][j], f[i - 1][j - items[i - 1][0]] + items[i - 1][1])
                groups[i - 1] -= 1
            else:
                f[i][j] = f[i - 1][j]

    # 最终f[n][V]的值即为分组背包能装下的最大价值
    return f[n][V]

# 示例
items = [[2, 3], [3, 4], [4, 5], [5, 8], [9, 10]]
V = 20
groups = [1, 2, 1, 2, 2]
print(knapsack(items, V, groups))  # 输出：18

在上面的代码中，knapsack函数接收三个参数，分别为物品的列表、背包的容量和物品所属的组，返回分组背包能装下的最大价值。示例中给出了5种物品和一个容量为20的背包，每种物品的组的数量都超过1，调用knapsack函数后得到的最大价值为18。

6.4 还有没有更难的背包问题？

6.4.1 多重背包问题

比分组背包问题更难的背包问题有多重背包问题。多重背包问题的描述为：给定n种物品和一个容量为V的背包，每种物品都有自己的体积和价值，同时还有一个限制条件，即每种物品最多可以选择多个，每个物品的数量是有限的，如何选择装入背包中的物品，使得装入背包中物品的总价值最大。

解决多重背包问题的动态规划解题思路如下：

对物品进行排序，按照价值与体积之比从大到小排序。
创建一个二维数组f[][]，其中f[i][j]表示前i个物品中，背包容量为j时的最大价值。
遍历每个物品，对于每个物品，枚举背包容量，并根据限制条件来更新f[i][j]的值。
最终f[n][V]的值即为多重背包能装下的最大价值。

6.4.2 完全背包问题

比多重背包问题更难的背包问题还有完全背包问题。完全背包问题的描述为：给定n种物品和一个容量为V的背包，每种物品都有自己的体积和价值，同时还有一个限制条件，即每种物品可以选择无限个，如何选择装入背包中的物品，使得装入背包中物品的总价值最大。

完全背包问题的时间复杂度为O(nV)，相比多重背包问题的时间复杂度O(nv)，完全背包问题的时间复杂度更大，因此完全背包问题相对来说更难解决。

解决完全背包问题的动态规划解题思路如下：

对物品进行排序，按照价值与体积之比从大到小排序。
创建一个二维数组f[][]，其中f[i][j]表示前i个物品中，背包容量为j时的最大价值。
遍历每个物品，对于每个物品，枚举背包容量，并根据限制条件来更新f[i][j]的值。

更新f[i][j]的方法如下：

如果背包容量j不足以放下第i个物品，那么f[i][j]的值不变，f[i][j] = f[i - 1][j]。
如果背包容量j足够放下第i个物品，那么f[i][j]的值有两种选择，取决于是否选择装入背包中的第i个物品。
如果不选择，那么f[i][j]的值为不选择第i个物品时的最大价值，即f[i][j] = f[i - 1][j]。
如果选择，那么f[i][j]的值为选择第i个物品时的最大价值，即f[i][j] = f[i][j - w[i]] + v[i]。其中w[i]表示第i个物品的体积，v[i]表示第i个物品的价值。

7. 动态规划就是无敌的吗？

动态规划算法在某些情况下，其时间复杂度可能会变得非常大，从而无法接受。例如，如果问题的规模非常大，并且每个子问题之间有很多依赖关系，那么动态规划算法的时间复杂度可能会变得很高。

另外，如果问题的状态空间非常大，而且每个状态都有很多子状态，那么动态规划算法可能无法解决这个问题，因为它需要储存所有子问题的状态，如果状态空间太大，那么可能会导致内存爆掉。

总之，动态规划算法可能无法解决非常大规模的问题，或者那些有着巨大状态空间的问题。

8. 小结

在本文中，我们探讨了动态规划算法的工作原理，并通过斐波那契数列问题和背包问题的实例展示了动态规划算法的实际应用。我们也提到了动态规划算法的一些限制，并指出在某些情况下，它可能无法解决特别大规模的问题。

在下一篇博客中，我们将介绍另一种用于解决复杂问题的常用算法——贪心算法。贪心算法能够帮助我们找到问题的局部最优解，同时也有一些局限性。我们将通过实例来展示贪心算法的工作原理，并分析它在实际问题中的应用。敬请期待！