chatGPT教你算法——贪心算法

Posted 2023-01-21 刘炫320

0. 引言

在计算机科学中，贪心算法是一种用来解决多阶段决策最优化问题的算法。它的名字来源于贪婪策略，即每一步都选择当前看来是最优的选择，而不考虑未来的影响。这种算法的优点在于它的简单性和速度，能够快速找到满意解。

本文将介绍贪心算法在解决覆盖问题和最小生成树问题中的应用。首先，我们将简要介绍贪心算法的基本概念，然后探讨它在解决这两种问题时的具体做法。最后，我们将简要介绍一些贪心算法的局限性，并提供一些可能的解决方案。

1. 什么是贪心算法

贪心算法是一种在每一步选择中都采取在当前状态下最优（即最有利）的选择，从而希望导致结果是最优的算法。贪心算法假设每个子问题的最优解都对于原问题的最优解是有益的，因此它会忽略子问题之间的交互，仅考虑每个子问题的局部最优解。

一个常见的应用场景是求解覆盖问题，例如，要在一个城市的地图上选择尽可能少的广播台，使得整个城市都能收到广播。这种情况下，贪心算法可以让每一步都选择覆盖面积最大的广播台，最终达到最优解。

贪心算法的优点是实现简单，时间复杂度一般为线性，因此在许多情况下都能得到比较好的性能。但是，贪心算法并不总是能得到问题的最优解，它只能保证局都最优解。此外，贪心算法也不适用于所有问题，只有在满足某些条件（称为贪心选择性质）的情况下才能使用。因此，贪心算法的缺点是不能保证最优解，并且不能适用于所有问题。

2. 覆盖问题

问题描述：给定一个集合S，以及一个包含若干个子集的集合C，求出C中最小的几个子集，使得这些子集的并集覆盖了S中的所有元素。

贪心算法的解题思路：

1. 先将集合C中的所有子集按照元素个数从小到大排序。
2. 从小到大遍历每个子集，如果该子集与已选择的子集的并集能够覆盖S中的所有元素，就将该子集加入答案。
3. 重复步骤2，直到能够覆盖S中的所有元素为止。

下面是一个样例代码，编程语言为python。

# 定义集合S
S = 1, 2, 3, 4, 5, 6

# 定义集合C，其中每个子集表示一个广播台的覆盖范围
C = [1, 2, 2, 3, 4, 3, 4, 5, 4, 5, 6, 5, 6]

# 将集合C中的所有子集按照元素个数从小到大排序
C.sort(key=lambda x: len(x))

# 初始化选择的广播台的集合
selected = set()

# 遍历每个子集
for subset in C:
    # 如果该子集与已选择的子集的并集能够覆盖S中的所有元素，就将该子集加入答案
    if not selected.union(subset) >= S:
        selected.update(subset)

# 输出选择的广播台的集合
print(selected)

3. 最小生成树问题

最小生成树问题：给定一个无向连通图，找到一棵生成树，使得树上所有边权值之和最小。

贪心算法的解题思路：

1. 先将图中所有边按照权值从小到大排序。
2. 从小到大遍历每条边，如果该边的两个端点不在同一个连通块中，就将这条边加入生成树中。
3. 重复步骤2，直到所有点都在同一个连通块中为止。

下面是一个样例代码，编程语言为python。

# 定义一个二维列表表示图中的所有边，其中每一行表示一条边，包括起点、终点和权值
edges = [
    (1, 2, 2),
    (1, 3, 1),
    (2, 3, 3),
    (2, 4, 10),
    (3, 4, 7),
    (3, 5, 8),
    (4, 5, 5)
]

# 将所有边按照权值从小到大排序
edges.sort(key=lambda x: x[2])

# 定义一个列表表示图中的所有点，每个点对应一个连通块
vertices = [i for i in range(1, 6)]

# 初始化生成树
mst = []

# 遍历每条边
for edge in edges:
    # 如果该边的两个端点不在同一个连通块中，就将这条边加入生成树中
    if vertices[edge[0] - 1] != vertices[edge[1] - 1]:
        mst.append(edge)
        # 将两个端点所在的连通块合并成一个连通块
        for i in range(len(vertices)):
            if vertices[i] == vertices[edge[1] - 1]:
                vertices[i] = vertices[edge[0] - 1]

# 输出最小生成树
print(mst)

4. 小结

贪心算法是一种在对问题求解时，总是做出在当前看来是最好的选择，不追求最优解，快速找到满意解的算法。贪心算法所得到的结果不一定是最优解，但是都是比较优秀的解，并且比较容易计算。

覆盖问题是指在一个集合中选择一些子集，使得每一个元素都至少被包含在一个子集中。对于这种问题，贪心算法的做法是，每次选择一个包含元素最多的子集，以保证每次选择都最大化覆盖元素的数量。

最小生成树是指在一个无向连通图中，选择若干条边，使得这些边恰好连接所有节点，且这些边的权值之和最小。对于这种问题，贪心算法的做法是，每次选择两个节点之间权值最小的边，以保证每次选择都使得树的总权值最小。