[M数学] lc1802. 有界数组中指定下标处的最大值(贪心+二分+数学推公式)

Posted 2023-01-04 Ypuyu

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• • 1. 题目来源
  • 2. 题目解析

1. 题目来源

链接：1802. 有界数组中指定下标处的最大值

2. 题目解析

直觉的贪心思路，证明看官方题解吧。至于数学思路也推荐看官方题解，一开始确实想着推公式的，最后没走下去。

贪心思路：

• 让 index 值最大，剩余两边依次递减即可
• index 值越大，形成后的数组总和越大，越接近 maxSum

所以，可以在不超过 maxSum 二分最大的 arr[index] 是多少即可，也就是二分答案了。

index 作为最大值的下标，如何计算左侧、右侧的元素和，策略如下：

• 左侧待填充的长度为 index，右侧待填充的长度为 n-index-1
• 当二分答案值能将这个长度填满时，则意味着这个长度的尾部，不需要用 1 来做最后填充，反之则需要用 1 来做最后填充。
  • 不用 1 填充时，说明 length+1<big 即为等差数列，首项需要单独计算
  • 用 1 填充时，等差数列，首项为 1 / 0

计算过程会超过 int，需要开 long。

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• 时间复杂度：$O(lo{g}_n)$
• 空间复杂度：$O(1)$

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class Solution 
public:
    int maxValue(int n, int index, int maxSum) 
        int l = 1, r = maxSum;      // 二分最大值
        while (l < r) 
            int mid = l + r + 1 >> 1;
            if (check(mid, n, index, maxSum)) l = mid;  
            else r = mid - 1; 
        

        return r;
    

    // 最大值是 mid，左侧长度为 index（不包括 mid） 右侧长度为 n - index - 1（不包括mid）
    bool check(int mid, int n, int index, int maxSum) 
        int ll = index, lr = n - index - 1;
        return mid + cal(mid, ll) + cal(mid, lr) <= maxSum;
    

    // 如果 长度+1 < 最大值的话，说明最大值依次递减到数组端点处，还有余值，不用一味填充1
    // 如果 长度+1 >= 最大值的话，说明最大值依次递减到数组断点处，没有余值了，后面的一部分需要填充1了
    // 需要注意不要报 long 了 
    long cal(int big, int length) 
        if (length + 1 < big) 
            int a0 = big - length, an = big - 1;
            return (long)(an + a0) * length / 2;
         else 
            int ones = length - (big - 1);
            return (long)big * (big - 1) / 2 + ones;
        
    
;