判断二叉树是否为满二叉树

Posted 2022-12-16 GreyZeng

判断二叉树是否为满二叉树

作者：Grey

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满二叉树定义

一个二叉树，如果每一个层的结点数都达到最大值，则这个二叉树就是满二叉树。也就是说，如果一个二叉树的层数为K，且结点总数是(2^k) -1 ，则它就是满二叉树。

方法1

使用公式，求二叉树的层数 k, 结点数 n，如果满足(2^k) -1 = n，则为满二叉树。

定义数据结构

    public static class Info1 
        public int height;
        public int nodes;

        public Info1(int h, int n) 
            height = h;
            nodes = n;
        
    

其中height表示二叉树的层数，nodes表示二叉树的结点个数。

定义递归函数

Info1 process1(Node head)

递归含义是：head 为头的二叉树的层数和点数都是多少，接下来就是 base case

即：head == null的时候，此时，height == 0 且 nodes == 0

        if (head == null) 
            return new Info1(0, 0);
        

接下来是普遍情况

// 去左树上收集信息
Info1 leftInfo = process1(head.left);
// 去右树上收集信息
Info1 rightInfo = process1(head.right);
// 整合成 head 自己的信息
int height = Math.max(leftInfo.height, rightInfo.height) + 1;
int nodes = leftInfo.nodes + rightInfo.nodes + 1;
return new Info1(height, nodes);

方法2

定义如下数据结构

    public static class Info2 
        public boolean isFull;
        public int height;

        public Info2(boolean f, int h) 
            isFull = f;
            height = h;
        
    

其中isFull表示是否为满二叉树，height表示二叉树的高度。

定义了这个数据结构后，可以梳理可能性，如果以 head 为头的树要符合满二叉树。则需要同时满足下面三种情况

情况1：左树是满二叉树

情况2：右树是满二叉树；

情况3：左右树的高度一样。

定义递归函数

Info2 process2(Node head)

递归含义就是返回以head为头的二叉树Info2结构信息。

base case是

        if (h == null) 
            return new Info2(true, 0);
        

h == null默认是满二叉树，结点个数为0。

接下来是普遍情况，即去左右子树收集相关信息，整合成以h为头二叉树的信息。

    // 去左子树收集相关信息
    Info2 leftInfo = process2(h.left);
    // 去右子树收集相关信息
    Info2 rightInfo = process2(h.right);
    // 整合成 h 自己的新
    boolean isFull = leftInfo.isFull && rightInfo.isFull && leftInfo.height == rightInfo.height;
    int height = Math.max(leftInfo.height, rightInfo.height) + 1;
    return new Info2(isFull, height);

方法1 和 方法2 的时间复杂度都是O(n),即经过一次后序遍历的时间复杂度。

两种解法的完整代码（含测试代码）如下

public class Code_IsFull 
    public static class Node 
        public int value;
        public Node left;
        public Node right;

        public Node(int data) 
            this.value = data;
        
    

    // 第一种方法
    // 收集整棵树的高度h，和节点数n
    // 只有满二叉树满足 : 2 ^ h - 1 == n
    public static boolean isFull1(Node head) 
        if (head == null) 
            return true;
        
        Info1 all = process1(head);
        return (1 << all.height) - 1 == all.nodes;
    

    public static class Info1 
        public int height;
        public int nodes;

        public Info1(int h, int n) 
            height = h;
            nodes = n;
        
    

    public static Info1 process1(Node head) 
        if (head == null) 
            return new Info1(0, 0);
        
        Info1 leftInfo = process1(head.left);
        Info1 rightInfo = process1(head.right);
        int height = Math.max(leftInfo.height, rightInfo.height) + 1;
        int nodes = leftInfo.nodes + rightInfo.nodes + 1;
        return new Info1(height, nodes);
    

    // 第二种方法
    // 收集子树是否是满二叉树
    // 收集子树的高度
    // 左树满 && 右树满 && 左右树高度一样 -> 整棵树是满的
    public static boolean isFull2(Node head) 
        if (head == null) 
            return true;
        
        return process2(head).isFull;
    

    public static class Info2 
        public boolean isFull;
        public int height;

        public Info2(boolean f, int h) 
            isFull = f;
            height = h;
        
    

    public static Info2 process2(Node h) 
        if (h == null) 
            return new Info2(true, 0);
        
        Info2 leftInfo = process2(h.left);
        Info2 rightInfo = process2(h.right);
        boolean isFull = leftInfo.isFull && rightInfo.isFull && leftInfo.height == rightInfo.height;
        int height = Math.max(leftInfo.height, rightInfo.height) + 1;
        return new Info2(isFull, height);
    

    // for test
    public static Node generateRandomBST(int maxLevel, int maxValue) 
        return generate(1, maxLevel, maxValue);
    

    // for test
    public static Node generate(int level, int maxLevel, int maxValue) 
        if (level > maxLevel || Math.random() < 0.5) 
            return null;
        
        Node head = new Node((int) (Math.random() * maxValue));
        head.left = generate(level + 1, maxLevel, maxValue);
        head.right = generate(level + 1, maxLevel, maxValue);
        return head;
    

    public static void main(String[] args) 
        int maxLevel = 5;
        int maxValue = 100;
        int testTimes = 1000000;
        System.out.println("测试开始");
        for (int i = 0; i < testTimes; i++) 
            Node head = generateRandomBST(maxLevel, maxValue);
            if (isFull1(head) != isFull2(head)) 
                System.out.println("出错了!");
            
        
        System.out.println("测试结束");
    

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