构造平衡二叉树
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篇首语:本文由小常识网(cha138.com)小编为大家整理,主要介绍了构造平衡二叉树相关的知识,希望对你有一定的参考价值。
平衡二叉树(AVL)
那对图 1 进行下改造,把数据重新节点重新连接下,图 2 如下:
图 2 可以看到以下特性:
1. 所有左子树的节点都小于其对应的父节点(4,5,6)<(7);(4)<(5);(8)< (9);
2. 所有右子树上的节点都大于其对应的父节点(8,9,10)>(7);(6)>(5);(10)>(9);
3. 每个节点的平衡因子差值绝对值 <=1;
4. 每个节点都符合以上三个特征。
满足这样条件的树叫平衡二叉树(AVL)树。
问:那再次查找节点 5,需要遍历多少次呢?
由于数据是按照顺序组织的,那查找起来非常快,从上往下找:7-5,只需要在左子树上查找,也就是遍历 2 次就找到了 5。假设要找到叶子节点 10,只需要在右子树上查找,那也最多需要 3 次,7-9-10。也就说 AVL 树在查找方面性能很好,最坏的情况是找到一个节点需要消耗的次数也就是树的层数, 复杂度为 O(logN)
如果节点非常多呢?假设现在有 31 个节点,用 AVL 树表示如图 3:
图 3 是一棵高度为 4 的 AVL 树,有 5 层共 31 个节点,橙色是 ROOT 节点,蓝色是叶子节点。对 AVL 树的查找来看起来已经很完美了,能不能再优化下?比如,能否把这个节点里存放的 KEY 增加?能否减少树的总层数?那减少纵深只能从横向来想办法,这时候可以考虑用多叉树。
参考技术A从结点48向根回溯,依次计算各个结点的平衡因子,48的为0,37为-1(左减去右),53为+1,24为-2,产生不平衡,从24往来路看2个结点:53、37,路径形态为先向右走再向左走,于是24、53和37进行先右后左双旋转:
第一步:将37、53向右旋转,37上,53变为37的右子树,48交给53成为53的左子树
第二步:将24、37向左旋转,37上,24变成37的左子树(如果37原来有左子树,就交给24变成其右子树,不过现在没有)
最终结果:
二叉树:构造一棵搜索树
❝构造二叉搜索树,一不小心就平衡了
❞
108.将有序数组转换为二叉搜索树
将一个按照升序排列的有序数组,转换为一棵高度平衡二叉搜索树。
本题中,一个高度平衡二叉树是指一个二叉树每个节点 的左右两个子树的高度差的绝对值不超过 1。
示例:
思路
题目中说要转换为一棵高度平衡二叉搜索树。这和转换为一棵普通二叉搜索树有什么差别呢?
其实这里不用强调平衡二叉搜索树,数组构造二叉树,构成平衡树是自然而然的事情,因为大家默认都是从数组中间位置取值作为节点元素,一般不会随机取,「所以想构成不平衡的二叉树是自找麻烦」。
在和中其实已经讲过了,如果根据数组构造一颗二叉树。
「本质就是寻找分割点,分割点作为当前节点,然后递归左区间和右区间」。
本题其实要比 和 简单一些,因为有序数组构造二叉搜索树,寻找分割点就比较容易了。
分割点就是数组中间位置的节点。
那么为问题来了,如果数组长度为偶数,中间节点有两个,取哪一个?
取哪一个都可以,只不过构成了不同的平衡二叉搜索树。
例如:输入:[-10,-3,0,5,9]
如下两棵树,都是这个数组的平衡二叉搜索树:
如果要分割的数组长度为偶数的时候,中间元素为两个,是取左边元素 就是树1,取右边元素就是树2。
「这也是题目中强调答案不是唯一的原因。理解这一点,这道题目算是理解到位了」。
递归
递归三部曲:
-
确定递归函数返回值及其参数
删除二叉树节点,增加二叉树节点,都是用递归函数的返回值来完成,这样是比较方便的。
相信大家如果仔细看了和,一定会对递归函数返回值的作用深有感触。
那么本题要构造二叉树,依然用递归函数的返回值来构造中节点的左右孩子。
再来看参数,首先是传入数组,然后就是左下表left和右下表right,我们在中提过,在构造二叉树的时候尽量不要重新定义左右区间数组,而是用下表来操作原数组。
所以代码如下:
// 左闭右闭区间[left, right]
TreeNode* traversal(vector<int>& nums, int left, int right)
这里注意,「我这里定义的是左闭右闭区间,在不断分割的过程中,也会坚持左闭右闭的区间,这又涉及到我们讲过的循环不变量」。
在, 和都详细讲过循环不变量。
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确定递归终止条件
这里定义的是左闭右闭的区间,所以当区间 left > right的时候,就是空节点了。
代码如下:
if (left > right) return nullptr;
-
确定单层递归的逻辑
首先取数组中间元素的位置,不难写出int mid = (left + right) / 2;
,「这么写其实有一个问题,就是数值越界,例如left和right都是最大int,这么操作就越界了,在中尤其需要注意!」
所以可以这么写:int mid = left + ((right - left) / 2);
但本题leetcode的测试数据并不会越界,所以怎么写都可以。但需要有这个意识!
取了中间位置,就开始以中间位置的元素构造节点,代码:TreeNode* root = new TreeNode(nums[mid]);
。
接着划分区间,root的左孩子接住下一层左区间的构造节点,右孩子接住下一层右区间构造的节点。
最后返回root节点,单层递归整体代码如下:
int mid = left + ((right - left) / 2);
TreeNode* root = new TreeNode(nums[mid]);
root->left = traversal(nums, left, mid - 1);
root->right = traversal(nums, mid + 1, right);
return root;
这里int mid = left + ((right - left) / 2);
的写法相当于是如果数组长度为偶数,中间位置有两个元素,取靠左边的。
-
递归整体代码如下:
class Solution {
private:
TreeNode* traversal(vector<int>& nums, int left, int right) {
if (left > right) return nullptr;
int mid = left + ((right - left) / 2);
TreeNode* root = new TreeNode(nums[mid]);
root->left = traversal(nums, left, mid - 1);
root->right = traversal(nums, mid + 1, right);
return root;
}
public:
TreeNode* sortedArrayToBST(vector<int>& nums) {
TreeNode* root = traversal(nums, 0, nums.size() - 1);
return root;
}
};
「注意:在调用traversal的时候为什么传入的left和right为什么是0和nums.size() - 1,因为定义的区间为左闭右闭」。
迭代法
迭代法可以通过三个队列来模拟,一个队列放遍历的节点,一个队列放左区间下表,一个队列放右区间下表。
模拟的就是不断分割的过程,C++代码如下:(我已经详细注释)
class Solution {
public:
TreeNode* sortedArrayToBST(vector<int>& nums) {
if (nums.size() == 0) return nullptr;
TreeNode* root = new TreeNode(0); // 初始根节点
queue<TreeNode*> nodeQue; // 放遍历的节点
queue<int> leftQue; // 保存左区间下表
queue<int> rightQue; // 保存右区间下表
nodeQue.push(root); // 根节点入队列
leftQue.push(0); // 0为左区间下表初始位置
rightQue.push(nums.size() - 1); // nums.size() - 1为右区间下表初始位置
while (!nodeQue.empty()) {
TreeNode* curNode = nodeQue.front();
nodeQue.pop();
int left = leftQue.front(); leftQue.pop();
int right = rightQue.front(); rightQue.pop();
int mid = left + ((right - left) / 2);
curNode->val = nums[mid]; // 将mid对应的元素给中间节点
if (left <= mid - 1) { // 处理左区间
curNode->left = new TreeNode(0);
nodeQue.push(curNode->left);
leftQue.push(left);
rightQue.push(mid - 1);
}
if (right >= mid + 1) { // 处理右区间
curNode->right = new TreeNode(0);
nodeQue.push(curNode->right);
leftQue.push(mid + 1);
rightQue.push(right);
}
}
return root;
}
};
总结
「在 和 之后,我们顺理成章的应该构造一下二叉搜索树了,一不小心还是一棵平衡二叉搜索树」。
其实思路也是一样的,不断中间分割,然后递归处理左区间,右区间,也可以说是分治。
此时相信大家应该对通过递归函数的返回值来增删二叉树很熟悉了,这也是常规操作。
在定义区间的过程中我们又一次强调了循环不变量的重要性。
最后依然给出迭代的方法,其实就是模拟取中间元素,然后不断分割去构造二叉树的过程。
「就酱,如果对你有帮助的话,也转发给身边需要的同学吧!」
在留言区留下你的思路吧!
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以上是关于构造平衡二叉树的主要内容,如果未能解决你的问题,请参考以下文章