线性代数之五：正交性

Posted 2022-12-14 zzulp

tags:

篇首语：本文由小常识网(cha138.com)小编为大家整理，主要介绍了线性代数之五：正交性相关的知识，希望对你有一定的参考价值。

5.1 标量积

标量积定义：有两个 $R^n$ 中的列向量x,y，则乘积 $x^Ty$ 称为x,y的标量积(scalar product)，标量积为一个标量 $\\sum x_i y_i$

向量的欧氏距离:若 $x\\in R^n$ ，则向量x的欧氏距离可通过标量积定义 $||x|| = (x^Tx)^\\frac12= \\sqrt\\sum x_i^2$

向量距离：若x,y为 $R^n$ 中的向量，则x,y间的距离定义为 $||y-x||$

向量余弦的计算：若x,y为 $R^n$ 中的向量，两个向量的夹角为 $\\theta$ ，则

xTy=||x||×||y||×cosθ $x^Ty=||x||×||y|| × cos\\theta$
记u为x方向上的单位向量，v为y方向上的单位向量，则有||u||=||v||=1，则

cosθ=xT||x||y||y||=uTv,θ∈[0,π] $cos\\theta=\\fracx^T||x|| \\fracy||y|| =u^Tv, \\theta \\in [0,\\pi]$

柯西-施瓦茨不等式: 若x,y为 $R^n$ 中的向量，则 $x^Ty \\le ||x||*||y||$ 当且仅当其中一个向量为0,或二者方向相同或相反时，等号成立

正交：若 $x^Ty=0$ ，则x和y称为正交的(orthogonal)，其几何意义是两个向量夹角为直角。

当两个向量x和y正交时，由勾股定理：

||x−y||2=||x+y||2=||x||2+||y||2 $||x-y||^2 = ||x+y||^2 = ||x||^2 + ||y||^2$

在非正交情况下则有：