算法作业！！求两个不等长有序数组的中位数！

Posted 2023-04-26

已知两个有序数组A和B分别有n1和n2个数字，
求一个用O（logn1+logn2)的算法去找A和B组合后的中位数！！

参考技术A 这个比较不好讲清楚，先假设 A 和 B 都是升序的。

这个问题的关键在于给定 k，怎样找到 A 和 B 合并后的第 k 大元素。我们可以这样做：

1. 把 A 平均分为前后两个部分，前部分有 x 个元素，后部分有 n1-x 个元素（由于 A 是有序的，所以后一部分的所有元素大于前一部分）。A[x] = A的后一部分的第一个元素。
2. 同理把 B 也平均分成前后两个部分，前部分有 y 个元素，后部分有 n2-y 个元素。B[y] = B的后一部分的第一个元素。
3. 由于两个数组都是被平均分割的，所以可以近似地认为 x = n1/2, y = n2/2。

这里不妨设 A[x] <= B[y]（如果 A[x] > B[y] 处理过程和下面类似）：

=============================== 情况1 ============================

由于在 A 中，A[x] 前面有 x 个元素，在 B 中，B[y] 前面有 y 个元素，并且又有 A[x] <= B[y]，那么，合并以后，A[x]前面原来那些元素必然也在B[y]前面，也就是说，B[y]前面至少会有 x + y 个元素，我们再规定如果 A, B 中有相同元素，则合并后 A 中的元素排在 B 前面，那么归并以后 A[x] 也会排在 B[y] 前面，于是乎合并之后 B[y] 至少有 x+y+1 个元素。

如果 k <= x+y+1，也就是说，合并后第 k 大的元素必然落在 B[y] 前面。所以，原来在 B 数组中，第二部分（B[y]以及 B[y] 之后）那些元素都不可能包含我们要找到内容（第 k 大元素），所以我们可以把他们排除掉。这样就排除了 B 中一半的内容。

=============================== 情况2 ============================

在 A 中，A[x] 及其后面有 n1-x 个元素，除去 A[x] 之后有 n1-x-1 个元素，B[y] 及其后面有 n2-y 个元素。那么，由于 A[x] <= B[y]，所以合并起来之后，B[y] 后面那些元素必然也在 A[x] 后面，则合并后 A[x] 后面至少有 (n1-x-1) + (n2-y) = (n1+n2)-(x+y+1) 个元素。

如果 k > x+y+1，也就说，合并后第 k 大的元素必然落在 A[x] 后面。所以，原来在 A 数组中，第一部分（A[x]之前）以及 A[x] 都不可能包含我们要找的元素，所以我们可以把他们排除掉。这样就排除了 A 中一半的内容。

============================ 下面是总结 ===========================

综上所诉，对于 k <= x+y+1 还是 k > x+y+1 我们都提出了解决的方案，并且每种方案都能把 A 或者 B 的规模减小一半。减小了一半之后，我们将其作为一个新的问题继续使用上面的算法处理，直到 A 或者 B 减小到足够小：

1. A没有了，这样只需要找出 B 中第 k 大的元素，也就是 B[k].
2. B没有了，同上结果就是 A[k].

达到以上两个条件的任意一个分别只需要 O(logn1) 和 O(logn2) 的时间，所以最坏情况下这个算法只需要 O(logn1 + logn2) 就能得出结果。

============================ 下面是程序 ===========================

以下是基于这个算法的程序，具体实现是在 element_at 这个函数中，通过调用 element_at(0, n1-1, 0, n2-1, k) 可返回 A, B 数组合并后第 k 大的元素。

#include <stdio.h>

int n1, n2;
int A[1000];
int B[1000];

int element_at(int l1, int r1, int l2, int r2, int k)
int x = (l1 + r1) / 2, y = (l2 + r2) / 2;

if (l1 > r1) return B[l2+k-1];
if (l2 > r2) return A[l1+k-1];

if (A[x] <= B[y])
if (k <= (x - l1) + (y - l2) + 1)
return element_at(l1, r1, l2, y-1, k);
else
return element_at(x+1, r1, l2, r2, k-(x-l1)-1);

else
if (k <= (x - l1) + (y - l2) + 1)
return element_at(l1, x-1, l2, r2, k);
else
return element_at(l1, r1, y+1, r2, k-(y-l2)-1);



return 0;


int main()
int i;
printf("请输入A的大小：");
scanf("%d", &n1);
printf("请输入%d个数，以空格隔开：",n1);
for (i = 0; i < n1; i++) scanf("%d", &A[i]);

printf("请输入B的大小：");
scanf("%d", &n2);
printf("请输入%d个数，以空格隔开：",n2);
for (i = 0; i < n2; i++) scanf("%d", &B[i]);

if ((n1 + n2) & 1)
printf("中位数是：%d\n", element_at(0, n1-1, 0, n2-1, (n1+n2)/2+1));
else
printf("中位数是：%lf\n", (element_at(0, n1-1, 0, n2-1, (n1+n2)/2) + element_at(0, n1-1, 0, n2-1, (n1+n2)/2+1)) / 2.0);


return 0;
本回答被提问者采纳 参考技术B 我暂时只想到了 log(n2)*log(n1)...
就是两个二分乘起来...

第二章实验报告

 一、题目：

 

7-3 两个有序序列的中位数。

 

二、问题描述：

 

已知有两个等长的非降序序列S1, S2, 设计函数求S1与S2并集的中位数。有序序列A0,A1，?,AN?1的中位数指A(N?1)/2的值,即第?(N+1)/2?个数（A0为第1个数）。

 

三、算法描述：

 

首先要对两个等长数组进行重新排序，可以考虑直接合并再排序或者新建一个数组进行排序。合并再排序要多次移动数据，运算次数较多，因此我选择了新建一个数组，边导入数据边进行排序。

因为两个等长数组的排列是有规律的（由小到大），所以我可以直接比较两个数组的第一个数的大小，然后选择较小的一个放到新的数组中，然后被取出数据的那个数组的第二个数与另一个数组的第一个数比较，依然是取出较小的一个，以此重复，直到两个数组中的所有元素均被取出。

 

四、算法时间及空间复杂度分析

 

时间复杂度：

最好的情况：当一个数组中的全部元素均小于另一个数组的第一个数时，比较次数为N。

最坏的情况：当两个数组中的元素全都有交错时每两个元素都要进行一次比较，比较次数为2N。

所以时间复杂度为O(N)。

 

空间复杂度：

会随数组长度的增加而等量增加，O(N)

 

五、心得体会

 

该算法简答易行，容易设计，但是时间复杂度和空间复杂度相对较高，以后需要在老师的指导下，重新斟酌算法，做出时间和空间复杂度更低的算法。