有n个带编号的人和n个带编号的座位，求每个人都不坐在相同号码座位的方案数目

Posted 2022-12-13 一米阳光213

题目描述：

    有 n 位同学编号分别为1, 2, ..., n； 有 n 个座位编号分别为1, 2, ..., n。

    现在为每一位同学安排一个座位，求每个同学都坐在与自己编号不同的座位的方案数目。

分析：动态规划思想：

    假设 i 位同学，i 个座位，满足题意的方案数为 f(i)。

    考察分别有 (i-1) 和 i 位同学的情况。

    为了形象化地进行思考，设 i = 4。原来 i = 3 的时候，有 f(3) 种满足题意的方案。现在加入 i=4，则前面 1,2,... (i-1) 即 1,2,3 都可以坐在编号=4 的座位上，所以有 (i-1) 种可能。  

    假设现在是 1 坐在 4 号座位上，即：

          座位：1   2   3   4

          学生：?   ?   ?   1

    现在考察 4 号学生应该坐在哪里呢？

    （1） 4 号学生 坐在 1 号座位上，即：

          座位：1   2   3   4

          学生：4   ?   ?   1

     那么，我们可以非常明显地看到，可以把 1号座位和4 号座位拿开，让 2号同学和3号同学选 2号座位和 3号座位，即 f(i-2) ( f(2) )

（2）4 号学生 不能坐 1号座位上，那么此时：

         待安排的学生： 2 号，3 号，4 号

         待安排的座位： 1 号，2 号，3 号

          约束条件： 2 号学生   不能坐   2 号座位； （题目明确的要求！）

                             3 号学生   不能坐   3 号座位；

                             4 号学生   不能坐   1 号座位

         好！这个题目最有意思的就是这种情况，我们可以抽象地将 4号学生和 1号座位 想象成相匹配的 x 号学生和 x 号座位，那么：

          待安排的学生为 x 号，2号，3号；

          待安排的座位为 x 号，2号，3号；

          显然，满足题意的方案数 = f(i-1)  ( f(3) )

综上所述， f(i) = (i-1) * ( f(i-1) + f(i-2) )

这道题比较难理解的就是： 当 4 号学生 不能坐 1号座位上，需要抽象地将此问题转化为 规模为 (i-1) 的原问题。