Unity3D 四元数的理解

Posted 2022-12-13 暗光之痕

环境：Unity2018.3 语言：C#

 

总起：

本文主要参考《3D数学基础：图形与游戏开发》这本书。

 

四元数的理解：

♦复数

首先我来考虑复数轴i，i的定义为i^2=-1。

 

按照旋转的角度来理解的话，从1变换到-1，1实际上是旋转了180度到了-1。那么旋转90度呢？这个时候实际上就旋转到了复数轴上了，我们便用i来表示这个轴。

 

在2维空间中事情比较简单。

 

设点p为(x, y)，以复数的概念来看即为x+yi。如果旋转θ度，则引入另一个复数q=(cosθ, sinθ)。两者相乘得到旋转之后的点：

 

p’= pq = (x+yi)(cosθ +isinθ)

 

♦没有三元数

在3维空间中简单的增加一个维度并不能达到想要的效果：

 

j轴垂直于实数轴，那么肯定有j^2=-1，问题是ij的结果是什么？

 

我们很容易想到是-1，但是如果ij=-1，结合i^2=-1，说明i=j，实际上j这个新轴是不存在的。

 

♦四元数

这个时候我们就需要假设一个新的轴k，使得ij=k，同时k^2=-1。

 

得到i^2=j^2=k^2=-1。

 

我们可以想象i、j、k之间相互垂直组成3维空间，而实数跟他们分别垂直，可以想象出是单独拿出来的一条线。

 

ij=k,ji=-k;

jk=i,kj=-i;

ki=j,ik=-j.

 

我们得到了以上结论，注意实数轴和复数轴的转换跟复数空间中的不一样，因为1*i直接到了复数空间的i轴，而不是一个新轴。

 

这个结论其实很有意思，类似于我们以前学到的叉乘，同时可以用右手定则确定两个虚轴相乘的结果。

 

最终我们得到由3个虚部组成的四元数[w, (x, y, z)]为 w + xi + yj + zk。

 

从轴角对的角度来看，一次旋转实际上可以表示为一个轴n和旋转角度θ组成，四元数可由该轴角对来表示为[cos(θ/2) sin(θ/2)n]。

 

即[cos(θ/2) sin(θ/2)nx sin(θ/2)ny sin(θ/2)nz]。

 

♦对比

四元数很难理解，但是我们为什么要用它呢？因为相比于其他两种方式，有无可替代的优势。

 

旋转矩阵，计算机图形学中，我们一直在学习矩阵，最方便解决旋转的方式当然就是矩阵，并且矩阵的逆就是反角位移。

 

缺点是占用空间大，用了9个数；并且旋转矩阵是病态的，有效数字只有3个，但却需要6个数字去限制它们，很容易出现计算、采样不精确的情况下，产生非法的旋转矩阵。

 

第二种方式是欧拉角，欧拉角非常直观，甚至如果我们的游戏只需要一个到两个轴，完全可以使用欧拉角来处理问题。

 

但是欧拉角最大的问题是在插值的时候，可能会以我们相反的方向绕一圈进行插值；然后就是万向死锁，这个不做展开，只需要知道有这么一个底层问题。

 

四元数相比而言，最大的优势就是能提供平滑的插值，同时能快速连接多个四元数，很轻松的求出四元数的逆。

 

下一篇文章，我们结合Unity中四元数的实现，来具体讨论一下四元数的用处。

 

个人：

工程上代码写了许久，很累，学习最多的还是沟通和代码风格，技术上的进步比较少，所以最近想着把数学渲染什么的过一遍。