AtCoder Beginner Contest 227

Posted 2022-12-09 佐鼬Jun

C - ABC conjecture

题意：

给定一个$N$,现在问有多少个三元组$(A,B,C)$,$A\le B\le C$ ，$ABC\le N$

思路：

直接暴力枚举，时间复杂度$O(N^{\frac{2}{3}})$,枚举A和B然后算出有多少个C

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N = 1e5 + 10;
int s[N];
#define ll long long
int main() 
    ll n;
    cin >> n;
    ll res = 0;
    for (ll i = 1; i * i * i <= n; i++) 
        for (ll j = i; i * j * j <= n; j++) 
            res += n / i / j - j + 1;
        
    
    cout << res << endl;

D - Project Planning.

题意：

给一个长度为$N$的数列，$A_1....A_N$,$A_i\ge 1$，现在每次选$K$个数减去$1$,每个数只能被减到$0$，问整个数列最多能操作几次

思路：

假设可以操作$P$次，现在令$sum=$${\sum }_{i=1}^{n}min(P,A_i)$,
如果$P\times K>sum$,那么很明显是不够减的，所以一定不成立
可以假设当$P\times K\le sum$时，我们可以操作$P$次
每次操作的策略始终都是拿最大的$K$个数
假设$\ge P$的个数为$num$
1. 如果$num\ge K$,那么此时一定是满足$P\times K>sum$
2. 如果$num=K-1$，那么为了保证不等式剩下的数的和一定$\ge P$,又由于大小$<P$，所以个数一定$\ge 2$ 且最大是$P-1$，每次拿前$K-1$大的数，剩下的一个数从小数中拿，由于剩下的数的和一定$\ge P$，所以最后拿完$P$次后，拿出来的数的和一定满足$P\times K>sum$
3. 如果$num=K-2$，那么为了保证不等式剩下的数的和一定$\ge P$
又由于大小$<P$，所以个数一定$\ge 3$，且最大是$P-1$，每次拿前$K-2$大的数，剩下的一个数从小数中拿，第一次拿一定成功，拿完后，开始第二次拿，此时不等式就是$sum-k\ge P\ast K-K$，如果第二次拿失败了，说明剩下的$3$个数中，有至少2个数是$0$，这就说明之前有两个数是$1$，且这两个数是剩下的数中最大的两个，那么就说明剩下的三个数是最大情况就是 1,1,0，由于而这与中间推导的个数一定$>=3$，所以第二次拿一定是可以的，…一直推导到可以拿$P$次
…
K-1. 如果$num=0$,…个数一定$\ge K-1$，…按照上面归纳总结即可
最后按照不等式$P\times K\le sum$，来二分即可
洛谷也有别的结论及证明 link.

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N = 2e5 + 10;
#define ll long long
ll a[N];
int n, k;
bool check(ll x) 
    ll sum = 0;
    ll cnt = 0;
    for (int i = 1; i <= n; i++) 
        sum += min(x, a[i]);
    
    return sum >= x * k;

int main() 
    cin >> n >> k;
    for (int i = 1; i <= n; i++) 
        cin >> a[i];
    
    ll l = 0, r = 1e18 / k;
    while (l < r) 
        ll mid = (l + r + 1) / 2;
        if (check(mid)) 
            l = mid;
         else 
            r = mid - 1;
        
    
    cout << l << endl;

E - Swap

题意：

给定一个只有$K,E,Y$字母的一个字符串，现在问最多能交换相邻字符串$K$次，问能形成多少种字符串

思路：

原字符串定义为$A$,变换后的字符串定义为$B$
定义$dp(i,e,y,x)$为$B$字符串前$i$位有$e个E$ $y个Y$ 需要操作$x$次才能变成与$A$字符串前$i-e-y个K$ $e个E$ $y个Y$的相对顺序一致
最终就是$dp(len,ecnt,ycnt,i)$从0到k的累加
那么此时已知$dp(i,e,y,x)$的话，看对$dp(i+1)$产生什么影响即可

在当前状态下，如果末尾来了一个$K$,这是第$i-e-y$个$K$为了保证相对位置一样，就需要新来的$K$与原序列的第$i-e-AtCoder\; Beginner\; Contest\; 234$

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