由二项分布推导泊松分布中的两个使用公式的证明

Posted 2022-12-08 LaoYuanPython

一、概述

泊松分布是二项分布的极限，因此可以由二项分布推导出来，在推导过程中会用到如下两个公式：

在《求x-＞∞时（1-k/x）^x的极限值》介绍了后面这个公式的推导过程，虽然结论正确，但这2天想来其实过程不正确，因为x->∞和x->-∞是两种不能情况，不能这样直接代入。

二、上述两式的证明

1. 当n→∞时，$C_n^i=\frac{n!}{(n-i)!i!}=n\times (n-1)\times ...\times (n-i+1)/i!\to n^i/i!$
2. 从《人工智能数学基础8：两个重要极限及夹逼定理： https://blog.csdn.net/LaoYuanPython/article/details/106583840》可知当n→∞时，（1+$\frac{1}{n}{)}^n\to e$
   而$(1-\frac{1}{n}{)}^n=(\frac{n-1}{n}{)}^n=(\frac{n}{n-1}{)}^{-n}=(1+\frac{1}{n-1}{)}^{-(n-1)}\times （1+\frac{1}{n-1}{）}^{-1}\to e^{-1}\times （1+\frac{1}{n-1}{）}^{-1}\to e^{-1}$
   设n=mλ，则$（1-\frac{\lambda }{n}{）}^n=((1-\frac{1}{m}{)}^m{)}^{\lambda })=e^{-\lambda }$

更多人工智能数学基础请参考专栏《人工智能数学基础》。

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