曲面抛物方程的质量集中法

Posted 2022-12-08 陆嵩

曲面抛物方程的质量集中法

该篇内容来自文章 Xiao X, Feng X, Yuan J. The lumped mass finite element method for surface parabolic problems: error estimates and maximum principle[J]. Computers & Mathematics with Applications, 2018, 76(3): 488-507.
部分内容来自张林波老师 slides。
特此说明。

文章目录

• • 曲面抛物方程的质量集中法
  • • 参数化有限元方法
    • • 符号定义
      • 曲面抛物方程的参数化有限元方法
    • 质量集中有限元
    • 曲面偏微分集中质量法
    • • 曲面热传导方程的极值原理
      • 质量集中法
      • 误差估计
      • 离散极值原理
      • 数值实验
    • 后话

参数化有限元方法

首先让我们回顾一下参数化有限元方法。

符号定义

考虑包含于三维区域 $\mathcal{N}\subset {\mathbb{R}}^3$ 中的定向连通闭合曲面 $\Gamma$, 曲面 $\Gamma$ 将 $\mathcal{N}$ 分为内 外两部分 ${\mathcal{N}}^{+}$和 ${\mathcal{N}}^{-}$, 即 ${\mathcal{N}}^{+}\cap {\mathcal{N}}^{-}=\varnothing ,{\mathcal{N}}^{+}\cup \Gamma \cup {\mathcal{N}}^{-}=\mathcal{N}$. 假设存在水平集函数 $\varphi (\mathbf{x})\in C^2(\mathcal{N}),\nabla \varphi (\mathbf{x})\ne 0$, 使得 $\Gamma$ 具有如下的零水平集表达形式:
$$\Gamma =\mathbf{x}=(x,y,z)\in \mathcal{N}\mid \varphi (\mathbf{x})=0$$
且有
$$\begin{array}{ll}\varphi (\mathbf{x})>0,& \mathbf{x}\in {\mathcal{N}}^{+}\\ \varphi (\mathbf{x})<0,& \mathbf{x}\in {\mathcal{N}}^{-}\end{array}$$
曲面 $\Gamma$ 上节点 $x$ 处的单位法向为
$$\mathbf{n}(\mathbf{x})=\left(n_1,n_2,n_3\right)=\frac{\nabla \varphi (\mathbf{x})}{|\nabla \varphi (\mathbf{x})|}.$$
特别地, 将 $\mathcal{N}$ 定义为一个带状区域, 即 $\mathcal{N}:=\mathbf{x}\in {\mathbb{R}}^3\mid \mathrm{dist}(\mathbf{x},\Gamma )<\sigma$. 当 $\sigma >0$ 足够小时, 对于曲面 $\Gamma$ 可定义唯一的符号距离函数 $\bar{d}(\mathbf{x})\in C^2(\mathcal{N})$ 如下:
$$\{\begin{array}{ll}|\bar{d}(\mathbf{x})|=\mathrm{dist}(\mathbf{x},\Gamma ),& \mathbf{x}\in \mathcal{N},\\ \bar{d}(\mathbf{x})=0,& \mathbf{x}\in \Gamma ,\\ \bar{d}(\mathbf{x})>0,& \mathbf{x}\in {\mathcal{N}}^{+},\\ \bar{d}(\mathbf{x})<0,& \mathbf{x}\in {\mathcal{N}}^{-}.\end{array}$$
由上述定义可知曲面 $\Gamma$ 为 $\bar{d}(\mathbf{x})$ 的零水平集, 又 $\bar{d}(\mathbf{x})$ 表示欧几里得距离, 故 $|\nabla \bar{d}(\mathbf{x})|=1$. 对于 $\mathcal{N}$ 内的任意一点 $\mathbf{x}$, 设 $\mathbf{a}$ 为其在 $\Gamma$ 上距离最近的点, 则有 $\nabla \bar{d}(\mathbf{x})=\mathbf{n}(\mathbf{a}(\mathbf{x}))$ 成 立, 由于 $\sigma$ 足够小, 故 $\mathbf{a}$ 唯一, 且 $\mathbf{a}$ 与 $\mathrm{x}$ 之间存在对应关系
$$\mathbf{x}=\mathbf{a}(\mathbf{x})+\bar{d}(\mathbf{x})\mathbf{n}(\mathbf{a}(\mathbf{x}))$$
将法向量 $\mathbf{n}$ 在 $\mathcal{N}$ 内沿法向进行常值延拓, 则有 $\mathbf{n}(\mathbf{x})=\mathbf{n}(\mathbf{a}(\mathbf{x}))=\nabla \bar{d}(\mathbf{x})$.

下面介绍曲面抛物方程和研究其弱解所需的Sobolev空间.

考虑如下定义在曲 面 $\Gamma$ 上的抛物方程:
u t − Δ Γ u = f , x