数据结构与算法学习之排序算法
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篇首语：本文由小常识网(cha138.com)小编为大家整理，主要介绍了数据结构与算法学习之排序算法相关的知识，希望对你有一定的参考价值。
文章目录
1、排序算法的介绍
排序也称排序算法 (Sort Algorithm)，排序是将一组数据，依指定的顺序进行排列的过程。
1.1、排序的分类
- 内部排序:指将需要处理的所有数据都加载到内部存储器中进行排序。
- 外部排序法：数据量过大，无法全部加载到内存中，需要借助外部存储进行
排序。 - 常见的排序算法分类:
2、算法的时间复杂度
2.1、度量一个程序(算法)执行时间的两种方法
-
事后统计的方法这种方法可行, 但是有两个问题：
一、是要想对设计的算法的运行性能进行评测，需要实际运行该程序；
二、是所得时间的统计量依赖于计算机的硬件、软件等环境因素, 这种方式，要在同一台计算机的相同状态下运行，才能比较那个算法速度更快。
-
事前估算的方法
通过分析某个算法的时间复杂度来判断哪个算法更优.
2.2、时间频度
2.2.1、基本介绍
时间频度：一个算法花费的时间与算法中语句的执行次数成正比例，哪个算法中语句执行次数多，它花费时间就多。一个算法中的语句执行次数称为语句频度或时间频度。记为T(n)。
2.2.2、举例说明-基本案例
比如计算1-100所有数字之和, 我们设计两种算法：
int total = 0;
int end = 100;
//使用for循环计算
for(int i=1 ; i<=end ; i++)
total+=i;
T(n) = n+1
//直接计算
total = (1 + end)*end/2;
T(n) = 1
2.2.3、举例说明-忽略常数项
| T(n)=2n+20 | T(n)=2*n | T(3n+10) | T(3n) | |
|---|---|---|---|---|
| 1 | 22 | 2 | 13 | 3 |
| 2 | 24 | 4 | 16 | 6 |
| 5 | 30 | 10 | 25 | 15 |
| 8 | 36 | 16 | 34 | 24 |
| 15 | 50 | 30 | 55 | 45 |
| 30 | 80 | 60 | 100 | 90 |
| 100 | 220 | 200 | 310 | 300 |
| 300 | 620 | 600 | 910 | 900 |
结论:
- 2n+20 和 2n 随着n 变大，执行曲线无限接近, 20可以忽略
- 3n+10 和 3n 随着n 变大，执行曲线无限接近, 10可以忽略
2.2.4、举例说明-忽略低次项
| T(n)=2n^2+3n+10 | T(2n^2) | T(n^2+5n+20) | T(n^2) | |
|---|---|---|---|---|
| 1 | 15 | 2 | 26 | 1 |
| 2 | 24 | 8 | 34 | 4 |
| 5 | 75 | 50 | 70 | 25 |
| 8 | 162 | 128 | 124 | 64 |
| 15 | 505 | 450 | 320 | 225 |
| 30 | 1900 | 1800 | 1070 | 900 |
| 100 | 20310 | 20000 | 10520 | 10000 |
结论:
- 2n^2+3n+10 和 2n^2 随着n 变大, 执行曲线无限接近, 可以忽略 3n+10
- n^2+5n+20 和 n^2 随着n 变大,执行曲线无限接近, 可以忽略 5n+20
2.2.5、举例说明-忽略系数
| T(3n^2+2n) | T(5n^2+7n) | T(n^3+5n) | T(6n^3+4n) | |
|---|---|---|---|---|
| 1 | 5 | 12 | 6 | 10 |
| 2 | 16 | 34 | 18 | 56 |
| 5 | 85 | 160 | 150 | 770 |
| 8 | 208 | 376 | 552 | 3104 |
| 15 | 705 | 1230 | 3450 | 20310 |
| 30 | 2760 | 4710 | 27150 | 162120 |
| 100 | 30200 | 50700 | 1000500 | 6000400 |
结论:
- 随着n值变大，5n^2+7n 和 3n^2 + 2n ，执行曲线重合, 说明 这种情况下, 5和3可以忽略。
- 而n^3+5n 和 6n^3+4n ，执行曲线分离，说明多少次方式关键
2.3、时间复杂度
-
一般情况下，算法中的基本操作语句的重复执行次数是问题规模n的某个函数，用T(n)表示，若有某个辅助函数f(n)，使得当n趋近于无穷大时，T(n) / f(n) 的极限值为不等于零的常数，则称f(n)是T(n)的同数量级函数。记作 T(n)=Ｏ( f(n) )，称Ｏ( f(n) ) 为算法的渐进时间复杂度，简称时间复杂度。
-
T(n) 不同，但时间复杂度可能相同。 如：T(n)=n²+7n+6 与 T(n)=3n²+2n+2 它们的T(n) 不同，但时间复杂度相同，都为O(n²)。
-
计算时间复杂度的方法：
（1）用常数1代替运行时间中的所有加法常数 T(n)=n²+7n+6 => T(n)=n²+7n+1
（2）修改后的运行次数函数中，只保留最高阶项 T(n)=n²+7n+1 => T(n) = n²
（3）去除最高阶项的系数 T(n) = n² => T(n) = n² => O(n²)
2.4、常见的时间复杂度
- 常数阶O(1)
- 对数阶O(log2n)
- 线性阶O(n)
- 线性对数阶O(nlog2n)
- 平方阶O(n^2)
- 立方阶O(n^3)
- k次方阶O(n^k)
- 指数阶O(2^n)
说明：
- 常见的算法时间复杂度由小到大依次为：Ο(1)＜Ο(log2n)＜Ο(n)＜Ο(nlog2n)＜Ο(n2)＜Ο(n3)＜ Ο(nk) ＜Ο(2n) ，随着问题规模n的不断增大，上述时间复杂度不断增大，算法的执行效率越低
- 从图中可见，我们应该尽可能避免使用指数阶的算法
2.4.1、常数阶O(1)
无论代码执行了多少行，只要是没有循环等复杂结构，那这个代码的时间复杂度就都是O(1)
int i = 1;
int j = 2;
++i;
++j;
int m = i + j;
上述代码在执行的时候，它消耗的时候并不随着某个变量的增长而增长，那么无论这类代码有多长，即使有几万几十万行，都可以用O(1)来表示它的时间复杂度。
2.4.2、对数阶O(log2n)
int i = 1;
while(i < n)
i = i * 2;
**说明：**在while循环里面，每次都将 i 乘以 2，乘完之后，i 距离 n 就越来越近了。假设循环x次之后，i 就大于 2 了，此时这个循环就退出了，也就是说 2 的 x 次方等于 n，那么 x = log2n也就是说当循环 log2n 次以后，这个代码就结束了。因此这个代码的时间复杂度为：O(log2n) 。 O(log2n) 的这个2 时间上是根据代码变化的，i = i * 3 ，则是 O(log3n)
2.4.3、线性阶O(n)
for(i =1; i <= n; ++i)
j = i;
j++;
**说明：这段代码，for循环里面的代码会执行n遍，因此它消耗的时间是随着n的变化而变化的，因此这类代码都可以用O(n)**来表示它的时间复杂度
2.4.4、线性对数阶O(nlogN)
for(m =1; m < n; m++)
i = 1;
while(i < n)
i = i*2;
O(nlog2N)
说明：线性对数阶O(nlogN) 其实非常容易理解，将时间复杂度为O(logxN)的代码循环N遍的话，那么它的时间复杂度就是 n * O(logxN)，也就是了O(nlogxN)
2.4.5、平方阶O(n²)
for(x = 1; i <= n; x++)
for(i = 1; i <= n; i++)
j = i;
j++;
**说明：**平方阶O(n²) 就更容易理解了，如果把 O(n) 的代码再嵌套循环一遍，它的时间复杂度就是 O(n²)，这段代码其实就是嵌套了2层n循环，它的时间复杂度就是 O(nn)，即 O(n²) 如果将其中一层循环的n改成m，那它的时间复杂度就变成了 O(mn)
2.4.6、立方阶O(n³)、K次方阶O(n^k)
说明：参考上面的O(n²) 去理解就好了，**O(n³)**相当于三层n循环，其它的类似
2.5、平均时间复杂度和最坏时间复杂度
- 平均时间复杂度是指所有可能的输入实例均以等概率出现的情况下，该算法的运行时间。
- 最坏情况下的时间复杂度称最坏时间复杂度。一般讨论的时间复杂度均是最坏情况下的时间复杂度。 这样做的原因是：最坏情况下的时间复杂度是算法在任何输入实例上运行时间的界限，这就保证了算法的运行时间不会比最坏情况更长。
- 平均时间复杂度和最坏时间复杂度是否一致，和算法有关(如图:)。
3、算法的空间复杂度简介
3.1、基本介绍
- 类似于时间复杂度的讨论，一个算法的空间复杂度(Space Complexity)定义为该算法所耗费的存储空间，它也是问题规模n的函数。
- 空间复杂度(Space Complexity)是对一个算法在运行过程中临时占用存储空间大小的量度。有的算法需要占用的临时工作单元数与解决问题的规模n有关，它随着n的增大而增大，当n较大时，将占用较多的存储单元，例如快速排序和归并排序算法就属于这种情况
- 在做算法分析时，主要讨论的是时间复杂度。从用户使用体验上看，更看重的程序执行的速度。一些缓存产品(redis, memcache)和算法(基数排序)本质就是用空间换时间。
4、冒泡排序
4.1、基本介绍
冒泡排序（Bubble Sorting）的基本思想是：通过对待
排序序列从前向后（从下标较小的元素开始）,依次比较
相邻元素的值，若发现逆序则交换，使值较大的元素逐渐从前移向后部，
就象水底下的气泡一样逐渐
向上冒。
因为排序的过程中，各元素不断接近自己的位置，如果一趟比较下
来没有进行过交换，就说明序列有序，因此要在排序过程中设置
一个标志flag判断元素是否进行过交换。从而减少不必要的比较。
4.2、演示冒泡过程的例子
小结冒泡排序规则
- 一共进行 数组的大小-1 次 大的循环
- 每一趟排序的次数在逐渐的减少
- 如果我们发现在某趟排序中，没有发生一次交换， 可以提前结束冒泡排序。这个就是优化
4.3、冒泡排序应用实例
我们举一个具体的案例来说明冒泡法。我们将五个无序的数：3, 9, -1, 10, -2 使用冒泡排序法将其排成一个从小到大的有序数列。
代码实现
逐步实现
public class BubbleSort
public static void main(String[] args)
int arr[] = 3, 9, -1, 10, 20;
System.out.println("排序前");
System.out.println(Arrays.toString(arr));
// 第一趟排序，就是将第一大的数排在倒数第一位
for (int j = 0; j < arr.length - 1 ; j++)
// 如果前面的数比后面的数大，则交换
if (arr[j] > arr[j + 1])
temp = arr[j];
arr[j] = arr[j + 1];
arr[j + 1] = temp;
// 第二趟排序，就是将第二大的数排在倒数第二位
for (int j = 0; j < arr.length - 1 - 1 ; j++)
// 如果前面的数比后面的数大，则交换
if (arr[j] > arr[j + 1])
temp = arr[j];
arr[j] = arr[j + 1];
arr[j + 1] = temp;
// 第三趟排序，就是将第三大的数排在倒数第三位
for (int j = 0; j < arr.length - 1 - 2; j++)
// 如果前面的数比后面的数大，则交换
if (arr[j] > arr[j + 1])
temp = arr[j];
arr[j] = arr[j + 1];
arr[j + 1] = temp;
// 第四趟排序，就是将第4大的数排在倒数第4位
for (int j = 0; j < arr.length - 1 - 3; j++)
// 如果前面的数比后面的数大，则交换
if (arr[j] > arr[j + 1])
temp = arr[j];
arr[j] = arr[j + 1];
arr[j + 1] = temp;
System.out.println("排序后的数组");
System.out.println(Arrays.toString(arr));
public class BubbleSort
public static void main(String[] args)
//为了容量理解，我们把冒泡排序的演变过程，展示一下
//测试一下冒泡排序的速度O(n^2), 给80000个数据，测试
//创建要给80000个的随机的数组
int[] arr = new int[80000];
for(int i =0; i < 80000;i++)
arr[i] = (int)(Math.random() * 8000000); //生成一个[0, 8000000) 数
Date data1 = new Date();
SimpleDateFormat simpleDateFormat = new SimpleDateFormat("yyyy-MM-dd HH:mm:ss");
String date1Str = simpleDateFormat.format(data1);
System.out.println("排序前的时间是=" + date1Str);
//测试冒泡排序
bubbleSort(arr);
Date data2 = new Date();
String date2Str = simpleDateFormat.format(data2);
System.out.println("排序后的时间是=" + date2Str);
// 将前面冒泡排序算法，封装成一个方法
public static void bubbleSort(int[] arr)
// 冒泡排序 的时间复杂度 O(n^2), 自己写出
int temp = 0; // 临时变量
boolean flag = false; // 标识变量，表示是否进行过交换
for (int i = 0; i < arr.length - 1; i++)
for (int j = 0; j < arr.length - 1 - i; j++)
// 如果前面的数比后面的数大，则交换
if (arr[j] > arr[j + 1])
flag = true;
temp = arr[j];
arr[j] = arr[j + 1];
arr[j + 1] = temp;
//System.out.println("第" + (i + 1) + "趟排序后的数组");
//System.out.println(Arrays.toString(arr));
if (!flag) // 在一趟排序中，一次交换都没有发生过
break;
else
flag = false; // 重置flag!!!, 进行下次判断
5、选择排序
5.1、基本介绍
选择式排序也属于内部排序法，是从欲排序的数据中，按指定的规则选出某一元素，再依规定交换位置后达到排序的目的。
5.2、选择排序思想
**选择排序（select sorting）也是一种简单的排序方法。它的基本思想是：第一次从arr[0]arr[n-1]**中选取最小值，与arr[0]交换，第二次从**arr[1]arr[n-1]中选取最小值，与arr[1]交换，第三次从arr[2]arr[n-1]**中选取最小值，与arr[2]交换，…，第i次从**arr[i-1]arr[n-1]中选取最小值，与arr[i-1]交换，…, 第n-1次从arr[n-2]~arr[n-1]**中选取最小值，与arr[n-2]交换，总共通过n-1次，得到一个按排序码从小到大排列的有序序列。
5.3、选择排序应用实例:
有一群牛 , 颜值分别是 101, 34, 119, 1 请使用选择排序从低到高进行排序 [101, 34, 119, 1]
5.4、代码实现
逐步实现
public class SelectSort
public static void main(String[] args)
//int [] arr = 101, 34, 119, 1, -1, 90, 123;
//使用逐步推导的方式来，讲解选择排序
//第1轮
//原始的数组 ： 101, 34, 119, 1
//第一轮排序 : 1, 34, 119, 101
//算法 先简单--》 做复杂， 就是可以把一个复杂的算法，拆分成简单的问题-》逐步解决
//第1轮
int minIndex = 0;
int min = arr[0];
for(int j = 0 + 1; j < arr.length; j++)
if (min > arr[j]) //说明假定的最小值，并不是最小
min = arr[j]; //重置min
minIndex = j; //重置minIndex
//将最小值，放在arr[0], 即交换
if(minIndex != 0)
arr[minIndex] = arr[0];
arr[0] = min;
System.out.println("第1轮后~~");
System.out.println(Arrays.toString(arr));// 1, 34, 119, 101
//第2轮
minIndex = 1;
min = arr[1];
for (int j = 1 + 1; j < arr.length; j++)
if (min > arr[j]) // 说明假定的最小值，并不是最小
min = arr[j]; // 重置min
minIndex = j; // 重置minIndex
// 将最小值，放在arr[0], 即交换
if(minIndex != 1)
arr[minIndex] = arr[1];
arr[1] = min;
System.out.println("第2轮后~~");
System.out.println(Arrays.toString(arr));// 1, 34, 119, 101
//第3轮
minIndex = 2;
min = arr[2];
for (int j = 2 + 1; j < arr.length; j++)
if (min > arr[j]) // 说明假定的最小值，并不是最小
min = arr[j]; // 重置min
minIndex = j; // 重置minIndex
// 将最小值，放在arr[0], 即交换
if (minIndex != 2)
arr[minIndex] = arr[2];
arr[2] = min;
System.out.println("第3轮后~~");
System.out.println(Arrays.toString(arr));// 1, 34, 101, 119 */
public class SelectSort
public static void main(String[] args)
//创建要给80000个的随机的数组
int[] arr = new int[80000];
for (int i = 0; i < 80000; i++)
arr[i] = (int) (Math.random() * 8000000); // 生成一个[0, 8000000) 数
System.out.println("排序前");
System.out.println(Arrays.toString(arr));
Date data1 = new Date();
SimpleDateFormat simpleDateFormat = new SimpleDateFormat("yyyy-MM-dd HH:mm:ss");
String date1Str = simpleDateFormat.format(data1);
System.out.println("排序前的时间是=" + date1Str);
selectSort(arr);
Date data2 = new Date();
String date2Str = simpleDateFormat.format(data2);
System.out.println("排序前的时间是=" + date2Str);<以上是关于数据结构与算法学习之排序算法的主要内容，如果未能解决你的问题，请参考以下文章