dp 部分和问题及其扩展

Posted 2022-12-07 桂月二四

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一.部分和问题

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给定整数 a1、a2、…、an，判断是否可以从中选出若干数，使它们的和恰好为 k。
首先，我们定义dp数组 dp[i][j] 代表使用前i个数字能否组成j这个数字
其次，我们发现dp[i][j] 是可以由dp[i-1][j-a[i]] 推出的，因此我们由状态转移方程 dp[i][j] |= dp[i-1][j-k* a[i] (k=0,1 且 j>=k*a[i[)
初始化：dp[0][0] = 0;

#include <bits/stdc++.h>
#define ll long long 
#define INF 0x3f3f3f3f
using namespace std;
int a[1001];
int dp[1001][1001]; 
int main()

	int n,k;
	cin>>n>>k;
	for(int i=1;i<=n;i++)
		cin>>a[i];
	dp[0][0] = 1;
	for(int i=1;i<=n;i++)
		for(int j=0;j<=k;j++)// 注意要从0开始 
		
			dp[i][j]|=dp[i-1][j];
			if(j>=a[i]) dp[i][j]|=dp[i-1][j-a[i]];
//			为了和后面统一也可以写成如下的形式 
//			for(int k=0;k<=1&&k*a[i]<=j;k++)
//				dp[i][j]|=dp[i-1][j-k*a[i]];
		 
	if(dp[n][k]) cout<<"YES";
	else cout<<"NO";
    return 0;
  

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2.多重部分和问题

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事实上，我们只需要在部分和代码上稍加改变就可以变成多重部分和代码；
将上述代码的状态转移方程改为dp[i][j] |= dp[i-1][j-k* a[i] (k<=m[i] 且 j>=k*a[i])即可

#include <bits/stdc++.h>
#define ll long long 
#define INF 0x3f3f3f3f
using namespace std;
int a[1001];
int dp[1001][1001]; 
int m[1001];
int main()

	int n,k;
	cin>>n>>k;
	for(int i=1;i<=n;i++)
		cin>>a[i];
	for(int i=1;i<=n;i++)
		cin>>m[i]; 
	dp[0][0] = 1;
	for(int i=1;i<=n;i++)
		for(int j=0;j<=k;j++)// 注意要从0开始 
		
			for(int k=0;k<=m[i]&&k*a[i]<=j;k++)
				dp[i][j]|=dp[i-1][j-k*a[i]];
		 
	cout<<dp[n][k];
    return 0;
  

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三.变式，计算种类数

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给定整数 a1、a2、…、an，每种数各有mi个，现在取出若干个数，使其等于k，由多少种取法？

这个问题也是一个简单的改编；
如果理解了上述的代码，很快就能发现将之前的状态转移方程的|= 改成+=即可 状态转移方程：dp[i][j] += dp[i-1][j-k* a[i] (k<=m[i] 且 j>=k*a[i])

代码请参考上一题

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四. 在判断的基础上，输出相应的数字

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问题 B: 新年趣事之打牌
题目描述
过年的时候，大人们最喜欢的活动，就是打牌了。xiaomengxian不会打牌，只好坐在一边看着。
这天，正当一群人打牌打得起劲的时候，突然有人喊道：“这副牌少了几张！”众人一数，果然是少了。于是这副牌的主人得意地说：“这是一幅特制的牌，我知道整副牌每一张的重量。只要我们称一下剩下的牌的总重量，就能知道少了哪些牌了。”大家都觉得这个办法不错，于是称出剩下的牌的总重量，开始计算少了哪些牌。由于数据量比较大，过了不久，大家都算得头晕了。
这时，xiaomengxian大声说：“你们看我的吧！”于是他拿出笔记本电脑，编出了一个程序，很快就把缺少的牌找了出来。
如果是你遇到了这样的情况呢？你能办到同样的事情吗？
输入
第一行一个整数TotalW，表示剩下的牌的总重量。
第二行一个整数N（1<N<=100），表示这副牌有多少张。
接下来N行，每行一个整数Wi（1<=Wi<=1000），表示每一张牌的重量。
输出
如果无解，则输出“0”；如果有多解，则输出“-1”；否则，按照升序输出丢失的牌的编号，相邻两个数之间用一个空格隔开。
样例输入
270
4
100
110
170
200
样例输出
2 4

分析发现，这就是一个部分和问题，但是题目要求输出丢失的牌子号。
我们可以引入path数组，path[j] = i,代表j这个数字可以由第i个数字（与其他数）相加形成，于是我们可以通过递归打印路径。但是事实上数据过大，递归可能炸掉，于是想到直接用栈。
（这里的代码将二维dp数组降为了一维数组）

#include <bits/stdc++.h>
#define ll long long 
using namespace std;
int a[105];
int dp[100005];
int path[100005];
int deta;
int tw,n;
void print(int j) 
    stack<int> s;
    while(j>0)
    
        s.push(path[j]);
        j-=a[path[j]];
    
    while(!s.empty())
    
        cout<<s.top()<<" ";
        s.pop(); 
     

int main()

    cin>>tw>>n;
    int sum = 0;
    for(int i=1;i<=n;i++)
    
        cin>>a[i];    
        sum+=a[i];
     
     deta = sum-tw;
    dp[0] = 1;
    for(int i=1;i<=n;i++)
    
        for(int j=deta;j>=a[i];j--)
        
                dp[j]+=dp[j-a[i]];  
                if(dp[j-a[i]]&&!path[j]) path[j] = i;//数字j可以由i组成 ,注意!path[j]这个条件 
        
    
    if(dp[deta]>=2) cout<<-1;
    else if (dp[deta]==0)  cout<<0;
    else print(deta);
    return 0;
  

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五.例题

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题目描述
珍珍学习乘法时,发现4=22,9=33,…,而2不可能分解为二个相同整数的乘积，但可以分解为11+11。她想知道对任意的正整数n,把它分解为几个整数与自身相乘之和,有多少种方案呢？
输入
只有一行，该行只有一个正整数n。
输出
只有一行，该行只有一个正整数，表示总方案数。
样例输入
4
样例输出
2
提示
30%的数据，1≤n≤10;

80%的数据，1≤n≤300;

100%的数据，1≤n≤800。

很简单吧！

#include <bits/stdc++.h>
#define ll long long 
#define INF 0x3f3f3f3f
using namespace std;
int a[34];
int dp[1001][1001]; 
int main()

    int n;cin>>n;
    for(int i=1;i<=33;i++)
        a[i] = i*i;
    dp[0][0] = 1;
    for(int i=1;i<=33;i++)
        for(int j=0;j<=n;j++)
        
            for(int k=0;j>=k*a[i];k++)
            dp[i][j]+=dp[i-1][j-k*a[i]];
        
    //for(int i=1;i<=n;i++) cout<<dp[i]<<" "; 
    cout<<dp[33][n];
    return 0;