子矩阵数量统计CF1181C Flag子矩阵数量统计

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更好的观感:
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CF1181C Flag子矩阵数量统计

题目介绍

题目链接:

https://codeforces.com/problemset/problem/1181/C

思路

维护变量

统计子矩阵一般都需要维护一些数组,大部分都是纵向维护或者横向维护。

本题维护两个数组:

d [ i ] [ j ] d[i][j] d[i][j] : ( i , j ) (i, j) (i,j)位置向下最多延伸相同颜色的块数

r [ i ] [ j ] r[i][j] r[i][j] ( i , j ) (i, j) (i,j)位置向右最多延伸相同颜色的块数

我们先考虑宽度为 1 1 1的情况,统计该列的贡献时再考虑该列横向向右能达到的最大贡献。

同时需要再维护两个横向延伸的最小值数组:

r [ i ] [ j ] r[i][j] r[i][j]前缀(横向数组)最小值, ( x , j ) (x, j) (x,j) ( i , j ) , x < i (i, j),x < i (i,j),x<i横向向右的延伸长度的最小值,保证 ( x , j ) (x, j) (x,j) ( i , j ) (i, j) (i,j)的颜色相同,只有在颜色相同时才会更新最小值

r [ i ] [ j ] r[i][j] r[i][j]和声明的一样,但是此 r [ i ] [ j ] r[i][j] r[i][j]是利用上述数组更新来的(具体见代码)

l m n [ i ] [ j ] lmn[i][j] lmn[i][j] : 后缀(横向数组)最小值, ( x , j ) (x, j) (x,j) ( i , j ) , x > i (i, j), x > i (i,j),x>i横向向右的延伸长度的最小值,保证 ( x , j ) (x, j) (x,j) ( i , j ) (i, j) (i,j)的颜色相同,只有在颜色相同时才会更新最小值


实现

先考虑宽度为1时,在纵向方向上能否构成国旗

即下面的条件(满足的旗子共三行,如题要求)

  • i + 3 ∗ d [ i ] [ j ] − 1 < = n i + 3 * d[i][j] - 1 <= n i+3d[i][j]1<=n 第三行的旗子不越界

  • d [ i ] [ j ] = = d [ i + d [ i ] [ j ] ] [ j ] d[i][j] == d[i + d[i][j]][j] d[i][j]==d[i+d[i][j]][j] 第二行和第一行的长度相同

  • d [ i + 2 ∗ d [ i ] [ j ] ] [ j ] > = d [ i ] [ j ] d[i + 2 * d[i][j]][j] >= d[i][j] d[i+2d[i][j]][j]>=d[i][j] 第三行的长度大于等于上面的行长度(大于等于请思考为什么,只要大于等于就能统计上)

纵向能够形成旗子,那么考虑改纵向旗子的贡献。

求贡献:

因为每一个满足条件的纵向旗子都会求贡献,所以每个纵向旗子求贡献只用向右求就行。

以下为举例:

AAA

BBB

CCC

最左边一列,可形成3种情况

中间一列,可形成2种情况

最右边一列,可形成1种情况

包含了所有的情况,总贡献就是 3 + 2 + 1

其实就是 n ( n + 1 ) / 2 n(n + 1) / 2 n(n+1)/2,亦或是递推式 f [ i ] = f [ i − 1 ] + i f[i] = f[i - 1] + i f[i]=f[i1]+i,思想基本一样

那么就要求贡献了

我们肯定需要找最小的向右扩展的长度才能算当前整体的贡献,最小向右扩展长度需要是上中下三部分的最小值。

故需要用到上述最小值(前缀和后缀)数组。

为什么要用到后缀数组?

以下为举例:满足情况的列用粗体标明

A (无关紧要行)

A

A

B

B

C

C

C(无关紧要行)

但是上下各多出一个字母,如果统计最小值时,上面部分用到前缀最小值数组,就会把第一行向右扩展的长度统计上去,造成统计错误。下面部分同理。

故上面部分需要用到后缀数组,下面部分需要用到前缀数组,中间部分无所谓

则当前列能够造成的贡献为 m i n ( l m n [ i ] [ j ] , r [ i + 2 ∗ d [ i ] [ j ] − 1 ] [ j ] , r [ i + 3 ∗ d [ i ] [ j ] − 1 ] [ j ] ) min(lmn[i][j], r[i + 2 * d[i][j] - 1][j], r[i + 3 * d[i][j] - 1][j]) min(lmn[i][j],r[i+2d[i][j]1][j],r[i+3d[i][j]1][j])

具体整体实现见代码。

代码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
using ll = long long;
using pii = pair<int, int>;
const int N = 1005, mod = 1e9 + 7;

int d[N][N], r[N][N], lmn[N][N];
char s[N][N];

void solve()

	int n, m;
	cin >> n >> m;
	for(int i = 1; i <= n; i++)
		cin >> (s[i] + 1);

	for(int i = n; i; i--)
	
		for(int j = m; j; j--)
		
			d[i][j] = d[i + 1][j], r[i][j] = r[i][j + 1];

			if(s[i][j] == s[i + 1][j])
				d[i][j] ++;
			else d[i][j] = 1;
			
			if(s[i][j] == s[i][j + 1])
				r[i][j] ++;
			else r[i][j] = 1;
		
	

	for(int i = n; i; i--)
		for(int j = 1; j <= m; j++)
		
			lmn[i][j] = r[i][j];
			if(i < n && s[i + 1][j] == s[i][j])
				lmn[i][j] = min(lmn[i][j], lmn[i + 1][j]);
		

	for(int i = 2; i <= n; i++)
		for(int j = 1; j <= m; j++)
		
			if(s[i][j] == s[i - 1][j])
				r[i][j] = min(r[i][j], r[i - 1][j]);
		


	ll ans = 0;

	for(int i = 1; i <= n; i++)
		for(int j = 1; j <= m; j++)
		
			if(i + 3 * d[i][j] - 1 <= n && d[i][j] == d[i + d[i][j]][j] && d[i + 2 * d[i][j]][j] >= d[i][j])
				ans += min(lmn[i][j], r[i + 2 * d[i][j] - 1][j], r[i + 3 * d[i][j] - 1][j]);
		

	cout << ans << "\\n";

int main()

	ios::sync_with_stdio(false);
	cin.tie(0);

	int t;
	// cin >> t;
	t = 1;
	while(t--)
		solve();
	return 0;

以上是关于子矩阵数量统计CF1181C Flag子矩阵数量统计的主要内容,如果未能解决你的问题,请参考以下文章

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