理论： 数论：素数举例

Posted 2022-12-06 sun897949163

有多少个素数？

在很久之前欧拉在定理中说“存在比任何给定的素数集合更多的素数”。
现在我们来证明这个结论：

假设只有有限多个素数， 比如K个， 2，3，5，7，……，Pk。然后欧拉说：我们令
.

设K个素数没有一个能整除M， 因为他们都能整除M-1， 于是必定有另一个素数整除M，或许M本身就是个素数， 这两种可能都与我们假设仅有2，3，5，7……，Pk，这K个素数相矛盾。

欧几里得的证明提醒我们使用如下的递归式：
.

定理欧几里得数， 此序列的前面的一些数是
.

这些全部都是素数， 但是下面的一个e5是1807=13*139， 而e6=3263443又是素数， 然而e7,e8……e17又是合数， 而剩下的en可能是素数也可能是合数。
但是欧几里得数都是互素的， 也就是说：
.

欧几里得算法用仅仅三步就告诉我们这一结论， 因为当n>m时有en mod em = 1:
.

这样一来， 我们设qj是ej的最小 素数因子， 则素数q1,q2,q3……全是不相同的。这样是一个无穷多个素数的序列。

我们现在来考虑欧几里得数， 我们能否将en表示成封闭形式？
.

这样en的十进制位数大致就是en-1的2倍。

存在常数E≈1.264，使得：
.

还有一个类似的公式

.
在这里的两个等式不能真的看成是封闭的等式，因为常数E,P是以某种隐蔽的方式从数字en,pn中计算出来的。

---

---

到现在我们还没有完全回答开始的问题， 一共有多少个素数，这里确实有无穷多个， 但是有一些无限集合
更加稠密

稠密：关于稠密我们有两个观念
在正整数中有无穷多个正偶数和无穷多个完全平方数，但是在正常的观念下偶数的个数是多于完全平方数的
（1）. 我们比较各自的第N个数， 第N个偶数的值是2N， 而第N个完全平方数的值是N^2显然在N>2 的情况下 2N > N^2 ；所以我们可以得到在n>4的情况下正偶数的密度是大于完全平方数的
（2）.类似我们观察不大于X的数中， 正偶数和完全平方数的个数。不大于X的数中正偶数的个数是（int）（X/2）, 不大于X的数中完全平方数的个数是（int）（sqrt（X））；
·
有了上文的概念我们可以近似的求解一下素数的稠密度：

事实上：第N个素数Pn大约是n的自然对数的n倍，即
.

对上式化简， 可以得到近似的

素数定理

：
.

在这里n或者x的取值只有在趋近于+∞的情况下才能得到， 所以我们可以采用一个更加精确的界限
.

.