人工智能数学基础--概率与统计2：排列组合的表示方法二项式系数及斯特林近似

Posted 2022-12-06 LaoYuanPython

### 引言 在很多情况样本空间的样本点数不是非常大，从而直接计数样本点数获得概率并不困难。 当然，有些问题直接计数实际上是不可能的。计数要使用**组合分析**，这也称为一种精细的计数方法。

这些组合分析用到的知识就是排列组合，本文简单介绍一下排列组合的计算及表示。

排列

• 如果第一件事可用n1种方式完成，其后的第二件事可用n2种方式完成，…，最后第k件事可用nk种方式完成，那么依次完成这k件事共有n1×n2×…×nk种不同的方式
• 假定给定n个不同的物体，安排其中的r个成一条线，由于第一个有n种选择，第二个有n-1种选择，第r个有n-r+1种选择，按照计数的基本原则，不同的安排数目
  _nP_r = n×(n-1)×…×(n-r+1)
  这个数通常称它为排列，它是r个因子的乘积，称为n个物体中一次取r个的排列数。
• 在排列数中，当r=n时，排列 _nP_n = n!
• 假定一组n个物体，其中n1个是第一种类型（即相互间无差异，如第一组是5个字母m），n2个是第二种类型（如3个字母a），…，nk个是第k种类型（如6个字母k），n1+n2+…+nk=n，那么这n个物体的不同排列数为：
  _nP_n1,n2,…nk, = n!/(n1!n2!..nk!)

组合

在排列中物体的安排次序是必须关注的，但有时只需要关注选出的物体，而不关心它们的次序，这种选择称为组合。

从n个选择r个物体的组合数(也称为n个物体中一次取r个的组合)记为_nC_r或：

也可以写成：

很容易证明：_nC_r = _nC_n-r 。

二项系数

_nC_r = n!/(r!(n-r)!) 常称为二项系数，这是由于有二项展开式：

斯特林近似

斯特林公式（Stirling’s approximation）是一条用来取n的阶乘的近似值的数学公式。一般来说，阶乘的计算复杂度为线性。当要为某些极大大的n求阶乘时，常见的方法复杂度不可接受。斯特林公式能够将求解阶乘的复杂度降低到对数级。而且，即使在n很小的时候，斯特林公式的取值已经十分准确。

斯特林近似公式如下：

上述公式中e为自然对数的底。

小结

本文介绍了概率统计排列组合、二项式系数知识以及斯特林近似表示，都是概率统计的入门知识。

说明：

本文内容是老猿学习美版M.R.斯皮格尔等著作的《概率与统计》的总结，有需要高数原教材电子版以及OpenCV、Python基础知识、图像处理原理介绍相关电子资料，或对文章内有有疑问咨询的，请扫博客首页左边二维码加微信公号，根据加微信公号后的自动回复操作。

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