人工智能数学基础--概率与统计2:排列组合的表示方法二项式系数及斯特林近似

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篇首语:本文由小常识网(cha138.com)小编为大家整理,主要介绍了人工智能数学基础--概率与统计2:排列组合的表示方法二项式系数及斯特林近似相关的知识,希望对你有一定的参考价值。

### 引言 在很多情况样本空间的样本点数不是非常大,从而直接计数样本点数获得概率并不困难。 当然,有些问题直接计数实际上是不可能的。计数要使用**组合分析**,这也称为一种精细的计数方法。

这些组合分析用到的知识就是排列组合,本文简单介绍一下排列组合的计算及表示。

排列

  • 如果第一件事可用n1种方式完成,其后的第二件事可用n2种方式完成,…,最后第k件事可用nk种方式完成,那么依次完成这k件事共有n1×n2×…×nk种不同的方式
  • 假定给定n个不同的物体,安排其中的r个成一条线,由于第一个有n种选择,第二个有n-1种选择,第r个有n-r+1种选择,按照计数的基本原则,不同的安排数目
    nPr = n×(n-1)×…×(n-r+1)
    这个数通常称它为排列,它是r个因子的乘积,称为n个物体中一次取r个的排列数。
  • 在排列数中,当r=n时,排列 nPn = n!
  • 假定一组n个物体,其中n1个是第一种类型(即相互间无差异,如第一组是5个字母m),n2个是第二种类型(如3个字母a),…,nk个是第k种类型(如6个字母k),n1+n2+…+nk=n,那么这n个物体的不同排列数为:
    nPn1,n2,…nk, = n!/(n1!n2!..nk!)

组合

在排列中物体的安排次序是必须关注的,但有时只需要关注选出的物体,而不关心它们的次序,这种选择称为组合。

从n个选择r个物体的组合数(也称为n个物体中一次取r个的组合)记为nCr或:

也可以写成:

很容易证明:nCr = nCn-r

二项系数

nCr = n!/(r!(n-r)!) 常称为二项系数,这是由于有二项展开式:

斯特林近似

斯特林公式(Stirling’s approximation)是一条用来取n的阶乘的近似值的数学公式。一般来说,阶乘的计算复杂度为线性。当要为某些极大大的n求阶乘时,常见的方法复杂度不可接受。斯特林公式能够将求解阶乘的复杂度降低到对数级。而且,即使在n很小的时候,斯特林公式的取值已经十分准确。

斯特林近似公式如下:

上述公式中e为自然对数的底。

小结

本文介绍了概率统计排列组合、二项式系数知识以及斯特林近似表示,都是概率统计的入门知识。

说明:

本文内容是老猿学习美版M.R.斯皮格尔等著作的《概率与统计》的总结,有需要高数原教材电子版以及OpenCV、Python基础知识、图像处理原理介绍相关电子资料,或对文章内有有疑问咨询的,请扫博客首页左边二维码加微信公号,根据加微信公号后的自动回复操作。

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