剑指offer(C++)-JZ69：跳台阶(算法-动态规划)

Posted 2022-12-05 翟天保Steven

作者：翟天保Steven
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题目描述：

一只青蛙一次可以跳上1级台阶，也可以跳上2级。求该青蛙跳上一个 n 级的台阶总共有多少种跳法（先后次序不同算不同的结果）。

数据范围：1≤n≤40

要求：时间复杂度：O(n) ，空间复杂度： O(1)

示例：

输入：

2

返回值：

2

说明：

青蛙要跳上两级台阶有两种跳法，分别是：先跳一级，再跳一级或者直接跳两级。因此答案为2

解题思路：

本题考察算法-动态规划算法的使用。用四种逐优的解法，来一步步发现动态规划算法的优势。

解法一：递归法。青蛙可以一次跳一阶也可以跳两阶，假设跳到n阶时的方案数为F(n)，那么跳到n-1阶的方案数再加一就能跳到n阶，跳到n-2阶的方案数再加二也能跳到n阶，则跳到n阶的方案数是它们的和，即F(n)=F(n-1)+F(n-2)，初始条件n小于等于1时，方案数为1，用递归很容易实现。时间复杂度O(2^n)，因为每次调用jumpFloor，都要继续调用两次jumpFloor，这个复杂度是很高的；空间复杂度是递归栈空间，递归次数很大时，空间复杂度也是很高的。该方法虽然很容易写且理解，但是最不实用。

解法二：改进递归法。在解法一中不难发现，jumpFloor在执行过程中进行了大量的重复工作，比如计算F(5)时计算过F(4)和F(3)，但计算F(6)时又计算了多遍，那如果用数组存好F(x)的数值，只要计算一次就足够了，再次调用只需要读取数组数据即可。这样时间复杂度降到了O(n)，空间复杂度变为O(n)和递归栈空间。

解法三：动态规划。动态规划是在计算过程中，不断分析每一步的最优解，当进行到最后一步时，结果自然得出。如果说递归法是从后往前，那么动态规划就是从前往后。节省了递归栈空间。本题目简单，用一个循环即可完成，时间复杂度和空间复杂度均为O(n)。

解法四：改进的动态规划。解法三中空间复杂度还是太高，考虑到我们只需要求最终的结果，所以中间过程的数据并不需要保存下来，那么可以优化掉数组，用变量来动态存储F(n-1)和F(n-2)即可，时间复杂度为O(n)，空间复杂度为O(1)。

测试代码：

解法一：递归法

class Solution 
  public:
    int jumpFloor(int number) 
        if (number <= 1)
            return 1;
        return jumpFloor(number-1)+jumpFloor(number-2);
    
;

解法二：改进递归法

class Solution 
  public:
    int data[100]0;
    int jumpFloor(int number) 
        if (number <= 1)
            return 1;
        if(data[number]>0)
            return data[number];
        else
            data[number]=jumpFloor(number-1)+jumpFloor(number-2);
        return data[number];
    
;

解法三：动态规划

class Solution 
  public:
    int data[100]0;
    int jumpFloor(int number) 
        data[0]=1;
        data[1]=1;
        for(int i=2;i<=number;++i)
            data[i]=data[i-1]+data[i-2];
        return data[number];
    
;

解法四：改进的动态规划

class Solution 
  public:
    int jumpFloor(int number) 
        int a=1,b=1,c=1;
        for(int i=2;i<=number;++i)
        
            c=a+b;
            a=b;
            b=c;
        
        return c;
    
;