CCF-CSP-2013-12-4-有趣的数（C++详解）

Posted 2022-12-03 小张不胖

2013-12-4-有趣的数

问题描述

我们把一个数称为有趣的，当且仅当：

1. 它的数字只包含0, 1, 2, 3，且这四个数字都出现过至少一次。

2. 所有的0都出现在所有的1之前，而所有的2都出现在所有的3之前。

3. 最高位数字不为0。

   因此，符合我们定义的最小的有趣的数是2013。除此以外，4位的有趣的数还有两个：2031和2301。
   请计算恰好有n位的有趣的数的个数。由于答案可能非常大，只需要输出答案除以1000000007的余数。

输入格式

输入只有一行，包括恰好一个正整数n (4 ≤ n ≤ 1000)。
输出格式
输出只有一行，包括恰好n 位的整数中有趣的数的个数除以1000000007的余数。
样例输入
4
样例输出
3

这道题呢，我是用到了dp（Dynamic Programming）也就是动态规划算法。
我觉得呢，这道题的主要思想是左边的数字影响右边的，于是，我们就要分情况讨论喽！
我们先创建一个二位数组sum[ i ][ j ] , 其中 i 代表的是从左边数第 i 位，j 表示的是第 j 种情况。
然后我们分析题目，0必须在1之前，2必须在3之前，而且第一个数字不能是0，所以从左边开始的第一位数字就一定是2（这个应该很好理解哦）。
接下来，我们开始分析，到第 i 位数字之前，左边共有几种数字组成情况：
第一种是只有2（用sum[ i ][ 0 ]来表示）；
第二种是有2和0（用sum[ i ][ 1 ]来表示）；
第三种是有2和3（用sum[ i ][ 2 ]来表示）；
第四种是有2 ，3 ，0 这三个数字（用sum[ i ][ 3 ]来表示）；
第五种是有2 ，0 ，1 这三个数字（用sum[ i ][ 4 ]来表示）；
第六种是2 ，3 ，0 ，1 这四个数字（用sum[ i ][ 5 ]来表示）。
分析完第 i 位之前的所有情况之后，接下来我们来分析这六种情况到了第 i 位时，每种情况的可能是多少：

• 第一种情况（ 2 ）：如果左边的数字都是2，那么到了第 i 位的时候，也是2的话，就只有一种组合可能，这便是sum[ i ][ 0 ] = 1，始终等于1的原因。

• 第二种情况（ 2 ，0 ）：如果左边的数字和第 i 位的数是由 2 和 0 组成，因为 2 和 0 是没有约束的，所以，第 i 位可以有 2 和 0 这两个数字的情况，也就是
  sum[ i ][ 1 ] = (sum[ i - 1 ][ 0 ] + sum[ i - 1 ][ 1 ] * 2)，加上（j=0）这种情况是考虑了左边数字都是 2 的可能。

• 第三种情况（ 2 ，3 ）：如果左边的数字和第 i 位的数是由 2 和 3 组成的，因为数字2必须在3之前，所以，满足条件 3 的情况一共有
  sum[i][2] = (sum[i - 1][0] + sum[i - 1][2]) ，此处已将乘以 1 略去，乘以1是因为如果左边都是2的话，第 i 位只能是填入数字 3，同样，左边有 2 和 3，那么第 i 位也肯定是填 3，所以呢，第三种情况的第 i 位是由第一种情况×1再加上第三种情况×1组成的。
  第四种情况（2 ，0 ，1 ）：如果左边的数和第 i 位的数是由2 ,0 ,1组成的，由于 0 必须在 1 之前，所以第 i 位之前可能有两种状态：
  一是由数字 2 和0组成，也就是第二种情况；
  二是由数字 2 ，0 ，1 组成，也就是第四种情况。
  这两种状态中，如果是处于状态一的话，那么第 i 位就只能填数字 1 喽；如果是处于状态二的话，那么第 i 位可以填 2 或者 1 喽，所以就需要第四种情况×2啦，于是，我们可以得出第四种情况的公式：
  sum[ i ][ 3 ] = (sum[ i - 1 ][ 1 ] + sum[ i - 1 ][ 3 ] * 2)。

• 第五种情况（ 2 ，3 ，0 ） ：如果左边的数和第 i 位的数是由2 ，3 ，0 组成的，那么第 i 位之前可能有 3 种状态：
  一是由数字 2 和 0 组成，也就是第 2 种情况；
  二是由数字 2 和 3 组成，也就是第 3 种情况；
  三是由数字 2 、3 、0 组成，也就是第 5 种情况；
  这三种状态中，一和二状态都是乘以1的（因为第 i 位只能放置一个数字），第三种状态时，第 i 个位置可以填 2 个不同的数字（ 3 或 0 ，因为二者互不干预），所以就可以得到第五种情况的计算公式：
  sum[ i ][ 4 ] = (sum[ i - 1 ][ 1 ] + sum[ i - 1 ][ 2 ] + sum[ i - 1 ][ 4 ] * 2)。

• 第六种情况（ 2 ，0 ，1 ，3）：第 i 位之前有三种状态，分别是（2-3-0）、（2-0-1）、（2-0-1-3），此处的括号数字代表的是由这几个数字组成的，我们通过分析可以得出，当第 i 位前面是 4 个数字都有的情况，那么，第 i 位可以填 3 或 1，于是，我们就需要对前面的第六种情况乘以2，所以，我们最终得到的第六种情况的公式如下：
  sum[i][5] = (sum[i - 1][3] + sum[i - 1][4] + sum[i - 1][5] * 2)。

• 对啦，要记得每次求完数值后的取余哦~

接下来附上我的C++代码：

#include <iostream>
#include <string.h>
using namespace std;

int main()

	int i, n, y = 1000000007;
	long long sum[1001][6];
	cin >> n;
	memset(sum, 0, sizeof(sum));
	for (i = 1; i <= n; i++)
	
		sum[i][0] = 1;
		sum[i][1] = (sum[i - 1][0] + sum[i - 1][1] * 2) % y;
		sum[i][2] = (sum[i - 1][0] + sum[i - 1][2]) % y;
		sum[i][3] = (sum[i - 1][1] + sum[i - 1][3] * 2) % y;
		sum[i][4] = (sum[i - 1][1] + sum[i - 1][2] + sum[i - 1][4] * 2) % y;
		sum[i][5] = (sum[i - 1][3] + sum[i - 1][4] + sum[i - 1][5] * 2) % y;
		/*测试数据（根据个人需要）
		printf("sum[%d][0]=1;\\n",i);
		printf("sum[%d][1]=(sum[%d][0]+sum[%d][1]*2)%%y=%d\\n",i,i-1,i-1,sum[i][1]=(sum[i-1][0]+sum[i-1][1]*2)%y);
		printf("sum[%d][2]=(sum[%d][0]+sum[%d][2])%%y=%d\\n",i,i-1,i-1,sum[i][2]=(sum[i-1][0]+sum[i-1][2])%y);
		printf("sum[%d][3]=(sum[%d][1]+sum[%d][3]*2)%%y=%d\\n",i,i-1,i-1,sum[i][3]=(sum[i-1][1]+sum[i-1][3]*2)%y);
		printf("sum[%d][4]=(sum[%d][1]+sum[%d][2]+sum[%d][4]*2)%%y=%d\\n",i,i-1,i-1,i-1,sum[i][4]=(sum[i-1][1]+sum[i-1][2]+sum[i-1][4]*2)%y);
		printf("sum[%d][5]=(sum[%d][3]+sum[%d][4]+sum[%d][5]*2)%%y=%d\\n\\n",i,i-1,i-1,i-1,sum[i][5]=(sum[i-1][3]+sum[i-1][4]+sum[i-1][5]*2)%y);
		*/
	
	cout << sum[n][5];
	return 0;