多视几何：摄像机模型的推导

Posted 2022-12-03 tina_ttl

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篇首语：本文由小常识网(cha138.com)小编为大家整理，主要介绍了多视几何：摄像机模型的推导相关的知识，希望对你有一定的参考价值。

标签（空格分隔）：计算机视觉·多视几何

摄像机的作用是将3D空间点 $X$ 映射到2D图像点 $x$ ，而摄像机模型正是对应这个变换的矩阵P；
摄像机模型的推导分为两个步骤: 摄像机坐标系下的点投影到图像平面–>世界坐标系下的点投影到图像平面

注：这里提到的摄像机都是针孔摄像机模型！

1. 摄像机坐标系下的点投影到图像平面

有一个空间点 $\\mathbfX$ ，它在摄像机坐标系下的坐标为 $(X,Y,Z)^T$ ，即

$\\mathbfX = (X,Y,Z)^T$
那么，它在图像平面中的投影点x是什么？

根据相似三角形，可以得到如下两式

$\\fracxX = \\fracfZ 和 \\fracyY = \\fracfZ$
从而，有

$x = \\fracXZf 和y = \\fracYZf$
也就是说，空间中的点 $(X,Y,Z)$ 被映射成为 $(x,y)^T = (\\fracXZf,\\fracYZf)^T$
对上式进行变形，可以得到
$(Zx,Zy)^T = (Xf,Yf)^T$
也就是
$(Zx,Zy,Z)^T = (Xf,Yf,Z)^T$
记为齐次坐标的形式
$Z(x,y,1)^T = (Xf,Yf,Z)^T=\\beginbmatrix f & 0&0 &0\\\\ 0 & f &0&0 \\\\ 0 & 0 &1 &0 \\endbmatrix(X,Y,Z,1)^T$
即
$Z(x,y,1)^T = \\beginbmatrix f & 0&0 &0\\\\ 0 & f &0&0 \\\\ 0 & 0 &1 &0 \\endbmatrix(X,Y,Z,1)^T$