动态规划之最大递增子序列

Posted 2023-04-18

参考技术A     能应用动态规划求解的问题必须满足两个要素：最优子结构和子问题重叠。

    最优子结构：如果一个问题的最优解包含其子问题的最优解，那么这个问题具有最优子结构。

    子问题重叠：如果递归算法反复求解相同的子问题，就称最优化问题具有重叠子问题性质。（如果一个问题在递归的每一步都会生成全新的子问题，那么这个问题通常适合使用分治法求解）

    对于求一个数组N的最大递增子序列的问题，如何把这个问题转化成适合使用动态规划求解的形式呢？

    构造数组DP[  ],使得DP[ i ] 为以N[ i ] 结尾的最大递增子序列的长度，那么对于N[ i ]，DP[ i ]就等于MAX DP[ K ] + 1  , 其中 0<= k < i，N[ k ]  < N[ i ] ,也就是说N[ k ]是以N[ i ] 结尾的最大递增子序列的倒数第二个元素（所以必须满足 N[ k ] < N[ i ]），以N[ i ] 结尾的最大递增子序列的长度（也就是DP[ i ]）是所有满足要求的 N[ k ]的DP[ k ] + 1中最大的一个。

    求解最大递增子序列的问题就转化为求解DP[  ] 的问题了，这个问题满足最优子结构和重叠子问题，最大递增子序列的长度就等于DP[  ] 中最大的元素。

动态规划之----最长递增子序列

一，问题描述

给定一个序列，求解它的最长 递增 子序列 的长度。比如： arr[] = {3,1,4,1,5,9,2,6,5}   的最长递增子序列长度为4。即为：1,4,5,9

 

二，算法分析

有两种方式来求解，一种是转化为LCS问题。即，首先对数组排序，将排序后的结果存储在辅助数组中。排序时间复杂度O(NlogN)，排序后的数组与原数组组成了LCS（N,N）问题。解决LCS问题的时间复杂度为O(N^2)，故整个算法的时间复杂度为O(N^2)，空间复杂度为O(N)

 

另一种方式是直接用DP求解，算法如下：时间复杂度为O(N^2)

①最优子问题

设lis[i] 表示索引为 [0...i] 上的数组上的 最长递增子序列。初始时，lis[i]=1，注意，在DP中，初始值是很重要的，它是整个算法运行正确的关键。而初始值 则可以 通过 画一个小的示例来 确定。

当 arr[i] > arr[j]，lis[i] = max{lis[j]}+1 ；其中，j 的取值范围为：0,1...i-1

当 arr[i] < arr[j]，lis[i] = max{lis[j]} ；其中，j 的取值范围为：0,1...i-1

 

②重叠子结构

从上面可以看出，计算 lis[i]时，需要计算 lis[j]，其中 j < i，这说明有重叠子问题。借用网路中一张图如下：

                     lis(4)           
                 /       |               lis(3)      lis(2)    lis(1)  
        /             /         
  lis(2)  lis(1)   lis(1) 
  /    
lis(1)

而初始值 则可以 通过 画一个小的示例来 确定。

 

参考资料：

求解两个字符串的最长公共子序列

动态规划(3)-最长递增子序列

 

三，代码实现

错误版本1：

 1     private static int lis(int[] arr, int length){
 2         int lis[] = new int[length];
 3         
 4         //init
 5         for(int i = 0; i < length; i++)
 6             lis[i] = 1;
 7         
 8         for(int i = 1; i < length; i++)
 9         {
10             for(int j = 0; j < i; j++)
11             {
12                 
13                 if(arr[i] > arr[j])
14                 {
15                     if(lis[j] + 1 > lis[i])
16                         lis[i] = lis[j] + 1;
17                 }
18                 else{
19                     if(lis[j] > lis[i])
20                         lis[i] = lis[j];
21                 }
22             }
23         }
24         return lis[length - 1];
25     }

第13行if语句会导致bug，arr[i]要大于 j belongs to  0,1,...i-1 中所有的 arr[j]中的最大值，并且 lis[i] 是该最大值 arr[j] 所对应的 lis[j] +1，而不是某个其他的arr[j] 对应的 lis[j]+1

 

正确完整版本：

public class LIS {
    public static int lis(int[] arr){
        if(arr == null || arr.length == 0)
            return 0;
        return lis(arr, arr.length);
    }
    
    private static int lis(int[] arr, int length){
        int lis[] = new int[length];
        
        //init
        for(int i = 0; i < length; i++)
            lis[i] = 1;
        
        for(int i = 1; i < length; i++)
        {
            for(int j = 0; j < i; j++)
            {
//                lis[i]=max{lis[i-1], lis[i-1]+1}
                if(arr[i] > arr[j] && lis[j] + 1 > lis[i])
                    lis[i] = lis[j] + 1;
            }
        }
        
        int max = lis[0];
        for(int i = 1; i < length; i++)
            if(max < lis[i])
                max = lis[i];
        return max;
    }
    
    public static void main(String[] args) {
        int[] arr = {3,1,4,1,5,9,2,6,5};
        int result = lis(arr);
        System.out.println(result);
    }
}