7-4 试题 H：菜肴制作 (20 分)拓扑排序

Posted 2022-12-02 Fmm-PMO

知名美食家小 A 被邀请至 ATM 大酒店，为其品评菜肴。 ATM 酒店为小 A 准备了 N 道菜肴，酒店按照为菜肴预估的质量从高到低给予 1 到 N 的顺序编号，预估质量最高的菜肴编号为 1 。

由于菜肴之间口味搭配的问题，某些菜肴必须在另一些菜肴之前制作，具体的，一共有 M 条形如”i 号菜肴’必须’先于 j 号菜肴制作“的限制，我们将这样的限制简写为<i,j>。

现在，酒店希望能求出一个最优的菜肴的制作顺序，使得小 A 能尽量先吃到质量高的菜肴：

也就是说，

(1) 在满足所有限制的前提下，1 号菜肴”尽量“优先制作；
(2) 在满足所有限制，1号菜肴”尽量“优先制作的前提下，2 号菜肴”尽量“优先制作；
(3) 在满足所有限制，1 号和 2 号菜肴”尽量“优先的前提下，3 号菜肴”尽量“优先制作；
(4) 在满足所有限制，1 号和 2 号和 3 号菜肴”尽量“优先的前提下，4 号菜肴”尽量“优先制作；
(5) 以此类推。

例1：共 4 道菜肴，两条限制<3,1>、<4,1>，那么制作顺序是 3,4,1,2。
例2：共5道菜肴，两条限制<5,2>、<4,3>，那么制作顺序是1,5,2,4,3。
例1里，首先考虑 1，因为有限制<3,1>和<4,1>，所以只有制作完 3 和 4 后才能制作 1，而根据(3)，3 号又应”尽量“比 4 号优先，所以当前可确定前三道菜的制作顺序是 3,4,1；接下来考虑2，确定最终的制作顺序是 3,4,1,2。
例 2里，首先制作 1 是不违背限制的；接下来考虑 2 时有<5,2>的限制，所以接下来先制作 5 再制作 2；接下来考虑 3 时有<4,3>的限制，所以接下来先制作 4再制作 3，从而最终的顺序是 1,5,2,4,3。 现在你需要求出这个最优的菜肴制作顺序。无解输出”Impossible!“ （不含引号，首字母大写，其余字母小写）**

输入格式:
第一行是一个正整数D，表示数据组数。 接下来是D组数据。
对于每组数据： 第一行两个用空格分开的正整数 N 和 M ，分别表示菜肴数目和制作顺序限制的条目数。
接下来 M 行，每行两个正整数 x,y，表示”x 号菜肴必须先于 y 号菜肴制作“的限制。（注意：M 条限制中可能存在完全相同的限制）

输出格式:
输出文件仅包含 D 行，每行 N 个整数，表示最优的菜肴制作顺序，或者“Impossible!“表示无解（不含引号）。

输入样例:

3
5 4
5 4
5 3
4 2
3 2
3 3
1 2
2 3
3 1
5 2
5 2
4 3

输出样例:

1 5 3 4 2
Impossible!
1 5 2 4 3

输入输出样例解释
第二组数据同时要求菜肴 1 先于菜肴 2 制作，菜肴 2 先于菜肴 3 制作，菜肴 3 先于菜肴 1 制作，而这是无论如何也不可能满足的，从而导致无解。

数据范围
对于100%的数据满足N,M≤100000,D≤3。

思路：这道题前一阵做的，但答案错误。读了一遍题之后，立马想到拓扑排序，事实证明，确实是拓扑排序的应用。这道题代码写出来很容易，关键是输出和建图。由于想要编号越小的越先输出，所以可以使用优先队列（小顶堆），由于<a, b>，b如果是编号小的，但它需要等a完成后才有可能轮到b，所以记录出度，反向建图，即b存储a，这一部分参考了他人题解，自己一开始也没有想到优先队列。

#include <cstring>
#include <iostream>
#include <queue>
#include <vector>
using namespace std;

int out[100001]; //出度
vector<int> v[100001];
vector<int> ve;
int n, m;

bool order() 
    priority_queue<int> qe;
    for (int i = 1; i <= n; i++) 
        if (out[i] == 0) 
            qe.push(i);
        
    
    int cnt = 0;
    while (!qe.empty()) 
        int t = qe.top();
        ve.push_back(t);
        cnt++;
        qe.pop();
        for (int i = 0; i < v[t].size(); i++) 
            int x = v[t][i];
            out[x]--;
            if (out[x] == 0)
                qe.push(x);
        
    
    if(cnt == n)
        return true;
    return false;


int main() 
    int d, a, b;
    scanf("%d", &d);
    while (d--) 
        scanf("%d %d", &n, &m);
        for (int i = 0; i < m; i++) 
            scanf("%d %d", &a, &b);
            out[a]++;
            v[b].push_back(a);
        
        bool flag = order();
        if (!flag) 
            printf("Impossible!\\n");
         else 
            for (int i = ve.size() - 1; i >= 0; i--) 
                printf("%d ", ve[i]);
            
            printf("\\n");
        
        ve.clear();
        for (int i = 1; i <= n; i++) 
            v[i].clear();
        
        memset(out, 0, sizeof(out));
    
    return 0;