R语言-Metropolis Hasting抽样算法

Posted 2022-11-30 书槑

这种算法可以用抽样的方法模拟任何一种分布，计算其均值、方差等特征，前提是知道该分布的密度函数，但不必知道其分布函数。

目录

• 引例一
• 引例二
• Metropolis Hasting算法
• 马尔科夫链（Markov chain）
• 随机游走（Random Walk）
• 应用
• 检验

引例一

先来看一个简单的小例子，即给出一些均匀分布的随机数，我们可以模拟指数分布。

模拟过程如下：
首先生成一些[0,1]均匀分布的随机数，可以看作是随机生成的指数分布的概率密度，因此代入指数分布函数(cdf)的反函数，即可求出服从指数分布的随机数。可以再生成一些真正的指数分布随机数，和我们人造的随机数进行比较，比较方式是画出其频率分布直方图，可以看出其分布相似且近似指数分布。

par(mfrow=c(1,2))
x = rexp(1000,rate = 3)  #指数分布随机数
xu = runif(1000,0,1)  #均匀分布随机数
xe = -log(1-xu)/3   #均匀随机数生成的指数随机数
hist(x)
hist(xe)
plot(density(x))
plot(density(xe))

引例二

然而对于cdf的反函数比较复杂的分布，这种方法就行不通了，因此我们采用另一种方法，称为拒绝接受的算法：

已知目标分布的密度函数pdf：$f_y(x)$，我们首先生成[0,1]上均匀分布的随机数u，以及一个与目标分布有相同定义域且形态相似的分布$f_v(x)$，接下来将分布$f_v(x)$乘以一个大于1的数M，变为M$f_v(x)$，可以完全包含目标分布。运用均匀分布生成伯努利分布的思想，确定M$f_v(x)$中在目标分布里面的点，这实际上是一种拒绝接受的策略：

$P(x<X|u<f_y(x)/M\ast f_v(x))$

即为目标分布的概率密度。即我们保留在$f_y(x)$中的点，图中的阴影部分即为拒绝域。

(图中为二维展示，事实上对于高维复杂的目标分布，我们只能知道其概率密度函数，却并不能画出其形状）

这种抽样方法的效率实际上依赖于M的取值和这两种分布的相似性，M越大，相似性越低，则拒绝域越大，抽样效率越低。

因此我们需要寻找一种更普适的、效率更高的抽样方法，即Metropolis Hasting算法。

Metropolis Hasting算法

这个算法是Metropolis在二战时为了计算原子弹最佳引爆条件而发明的，由于这个算法具有一般性，被发表出来成为了统计学领域的核心算法。而后Hasting对算法中的一些缺陷做出改进，因此现在的整个算法被称为Metropolis Hasting算法。算法中运用到了马尔科夫-蒙特卡罗。

蒙特卡罗(Monte Carlo)是一种重复的实验，通过不断的重复实验可以得到一些特性，最后把这些特性进行汇总。马尔科夫链（Markov chain）是不断用随机过程实现这种模拟。马尔科夫和蒙特卡罗可以分开使用，但现在流行两个加在一起使用。为了后续展开，我们先对马尔科夫链进行一些深入了解。

马尔科夫链（Markov chain）

马尔科夫链是一个随机过程，其当前的状态只与上一个状态有关：

两个状态i,j之间有一个转移概率，记为 $p_{i,j}$
将其写成矩阵形式，记为一步转移转移矩阵 $P$
则n步转移概率为 $P^n$
简单的马尔科夫过程（遍历）最后会收敛到一个平稳分布

$\underset{n\to +\infty }{\lim }{P}^n=\Pi$

只要构造一个策略使得最后的平稳分布恰为目标分布的密度函数。我们可以去除马尔科夫链最开始的一些不稳定状态，仅保留之后收敛的状态作为目标分布的近似。

首先，我们给出一个对目标分布（p）的猜想分布（q），这个q可以是任何一种分布，这里取成正态分布。但这个猜想分布肯定是不准确的，因此我们用马尔科夫链对其做变换，使它一步步接近目标分布。

变换方法如下：每次生成的新的x记为x_new，它是由原来的x（记为x_old）生成的，可以取 $x^{[new]}\sim N(x^{[old]},1)$ ，称为随机游走猜想。

随机游走（Random Walk）

可以理解为一个喝醉酒的人从酒吧出来，在街上随机向左走或向右走，走到某一个位置后停下，下一次再走就是以这个位置为中心开始随机向左走或向右走。

随机游走也可以扩展到二维空间，例如这个醉汉一出门就是个十字路口，他每次随机选择向前后左右走几步。

并不是每次生成的x_new都是有用的（即满足p(x)分布），我们必须对其做判断，这就是Metropolis Hasting算法要实现的东西。

我们希望生成的x_new能使p(x_new)越大越好，这样就能更接近目标分布，因此定义接受概率 $\alpha$:

这意味着若 p(x_new)>p(x_old) 则以概率1接受 x_new，否则以p(new)/p(old) 的概率决定是否接受，若不接受则 x_old没有被更新。

以上就是Metropolis Hasting算法的内容，我们甚至不需要知道未知分布的完整概率密度，只要知道它的核即可。

应用

这里给出一个具体应用的例子：模拟一个自由度为5的t分布，给出核的表达式

定义初始值 $x_0$，q分布的方差，一共生成多少个x值（这里是110000个）

前面没有收敛的x值称为燃烧值(burn-in)，可以删去，仅留下最后的100000个值，这些随机数才是满足目标分布的。

注意，如果将方差设置得很小，那么接受概率$\alpha$的值可能也很小，则应该写成对数形式。

target = function(x)(1+x^2/5)^(-3)
random_walk = function(nn, x0, var)
  n = 1
  x_old = x0
  A = matrix()
  X = matrix()
  X[1] = x_old
  while (n < nn) 
    x_new = rnorm(1,x_old,var)
    p_old = target(x_old)
    p_new = target(x_new)
    a = min(1,p_new/p_old)
    A[n] = a
    b = rbinom(n = 1,  size = 1, prob = a)
    if(b==1)x_old = x_new
    X[n+1] = x_old
    n = n + 1
  
  X_converge = X[10001:length(X)]
  result = list(A,X,X_converge)
  return(result)


result = random_walk(110000,0,1)

检验

这里主要是检验生成的马尔科夫链是否收敛

第一种方法是画图检验，若均值和方差都很稳定则可以认为是收敛的

注意我们做的是抽样，和优化不同。优化最后会收敛到一条线，而抽样是一个区间。

可以不断改变初始值和方差来进行尝试，能发现收敛性是依赖于初始值和方差的，方差较大则收敛性不好。

X = unlist(result[2])
plot(X, pch=20, ylab = 'x', main = 'x0=0, var=1')  #trace plot

第二种方法是借助ACF函数，这个函数是检验两个观测值之间的自相关性。由于整个抽样过程依赖于马尔科夫性，这种性质要求 $x_n$ 只能与$x_{n-1}$有关，若ACF迅速下降则说明抽样较好，否则自相关性太强，抽样过程不好。

X_converge = unlist(result[3])
acf(X_converge)

上图的ACF显示自相关性很强，下图则较好

也可以用coda包中的Geweke diagnostic来进行检验。这个检验是从马尔科夫链中抽取两段，如果马尔科夫链收敛，则这两段应该有相同的均值

最后一种方法是看 $\alpha$ 的值，一般情况下 $\alpha$ 介于0.2到0.5之间，若 <0.1 或 >0.7 则认为抽样过程不好。