备战数学建模44-聚类模型(攻坚站8)

Posted 2022-11-28 nuist__NJUPT

“物以类聚，人以群分”，所谓的聚类，就是将样本划分为由类似的对象组成的多个类的过程。聚类后，我们可以更加准确的在每个类中单独使用统计模型进行估计、分析或预测；也可以探究不同类之间的相关性和主要差异。聚类和上一讲分类的区别：分类是已知类别的，聚类未知。常用的聚类有基于距离的：包括K-means和系统聚类等，基于密度的DASCAN算法等。

目录

一、Keans和K-means++算法

1.1、K-means算法

1.2、K-means++算法

 二、系统(层次)聚类

2.1、系统聚类基本原理

2.2、系统聚类SPSS实现

 三、DBSCAN算法

3.1、DBSCAN算法基本原理

 3.2、DBSCAN算法MATLAB实现

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一、Keans和K-means++算法

1.1、K-means算法

我们可以看一下K-means聚类的基本步骤：一、指定需要划分的簇[cù]的个数K值（类的个数）;
二、随机地选择K个数据对象作为初始的聚类中心（不一定要是我们的样本点）; 三、计算其余的各个数据对象到这K个初始聚类中心的距离，把数据对象划归到距离它最近的那个中心所
处在的簇类中;四、调整新类并且重新计算出新类的中心;五、循环步骤三和四，看中心是否收敛（不变），如果收敛或达到迭代次数则停止循环;六、结束。

K-means算法由如下优缺点，对于缺点2和缺点3，一般常采用K-means++算法进行改进。

优点：
（1）算法简单、快速。
（2）对处理大数据集，该算法是相对高效率的。
缺点：
（1）要求用户必须事先给出要生成的簇的数目K。
（2）对初值敏感。
（3）对于孤立点数据敏感。 

1.2、K-means++算法

k-means++算法选择初始聚类中心的基本原则是：初始的聚类中心之间的相互距离要尽可能的远。
算法描述如下：只对K-means算法“初始化K个聚类中心” 这一步进行了优化）
步骤一：随机选取一个样本作为第一个聚类中心；
步骤二：计算每个样本与当前已有聚类中心的最短距离（即与最近一个聚类中心的距离），这个值越大，表示被选取作为聚类中心的概率较大；最后，用轮盘法（依据概率大小来进行抽选）选出下一个聚类中心；
步骤三：重复步骤二，直到选出K个聚类中心。选出初始点后，就继续使用标准的K-means算法了。

下面演示使用SPSS完成聚类操作，SPSS默认使用的是K-means++算法实现的，这里面我选择的K是3，即聚类成3个，可以描述成发达城市，中部城市和不发达城市。

使用SPSS进行K-means++聚类，虽然可以很好地选择聚类中心，但是对于聚类中心的个数K的问题，还是需要主观堆的经验判断，所以还是有缺点的。如果出现数据量纲不同，应该先进行数据规范化处理，再进行聚类，SPSS勾选将标准值另存为变量，即可实现数据的标准化处理。

 二、系统(层次)聚类

2.1、系统聚类基本原理

系统聚类的过程不需要提前设置聚类个数和初始聚类点，系统聚类的流程如下：

系统（层次）聚类的算法流程：
一、将每个对象看作一类，计算两两之间的最小距离；
二、将距离最小的两个类合并成一个新类；
三、重新计算新类与所有类之间的距离；
四、重复二三两步，直到所有类最后合并成一类；
五、画聚类图决定分类个数和类别。

 对于需要计算的距离，对于样本与样本之间的距离，常用的距离公式如下：

 对于指标和指标之间的距离，常用的距离计算公式如下：

另外，类与类之间的距离常用的计算方式有如下几种：

1）最短距离法

 2）最长距离法

3）组间/组内平均连接法

 4）重心法

2.2、系统聚类SPSS实现

在Spss中选择系统聚类，导入变量，如果量纲不同，可以消除， 可以设置绘制谱系图等。

谱系图如下所示，图中的红线是我画上去的，通过红线可以确定分类的个数，主要根据可解释性划分类别，该图中横轴表示各类之间的距离。

 另外除了在图中画竖线确定K的个数，另外有一种常见的方法用来确定聚类数K的值，就是肘部法，具体如下：

 我们通过SPSS进行系统聚类，会生成聚合系数，我们将聚合系数由大到小降序排列后绘图，找到类似肘部的点，即为聚类类别数K。

我们可以看到绘制的图形中可以去K=3或者K=5，是最好的类别，至于具体取哪个，结合具体的解释性，哪个解释性强，取哪个。

确定聚类个数K后，可以保存聚类结果并绘图，具体如下，当然只能绘制2维或者3维图，即只有当有2个或者三个变量进行聚类才能绘制出图形。

最后绘制的二维和三维图形如下所示：

 

 三、DBSCAN算法

3.1、DBSCAN算法基本原理

DBSCAN算法是具有噪声的基于密度的聚类方法，根据挨的近按一定的数量进行聚类。

 DBSCAN算法的数据分类如下：主要分成三类，即核心点，边界点，噪声点。

DBSCAN算法的优缺点如下：其实除非指标绘制的散点图有明显的特殊形状，可以考虑使用DBSCAN算法，一般还是用系统聚类比较好。

 3.2、DBSCAN算法MATLAB实现

主函数如下，脚本主程序如下：

clc;
clear;
close all;

%% Load Data

load smile;
X = smile;

%% Run DBSCAN Clustering Algorithm

epsilon=0.5;
MinPts=10;
IDX=DBSCAN(X,epsilon,MinPts);


%% Plot Results
 %如果只要两个指标的话就可以画图啦
PlotClusterinResult(X, IDX);
title(['DBSCAN Clustering (\\epsilon = ' num2str(epsilon) ', MinPts = ' num2str(MinPts) ')']);

DBSCAN算法实现的函数如下：
 

function [IDX, isnoise]=DBSCAN(X,epsilon,MinPts)

    C=0;
    
    n=size(X,1);
    IDX=zeros(n,1);  % 初始化全部为0，即全部为噪音点
    
    D=pdist2(X,X);
    
    visited=false(n,1);
    isnoise=false(n,1);
    
    for i=1:n
        if ~visited(i)
            visited(i)=true;
            
            Neighbors=RegionQuery(i);
            if numel(Neighbors)<MinPts
                % X(i,:) is NOISE
                isnoise(i)=true;
            else
                C=C+1;
                ExpandCluster(i,Neighbors,C);
            end
            
        end
    
    end
    
    function ExpandCluster(i,Neighbors,C)
        IDX(i)=C;
        
        k = 1;
        while true
            j = Neighbors(k);
            
            if ~visited(j)
                visited(j)=true;
                Neighbors2=RegionQuery(j);
                if numel(Neighbors2)>=MinPts
                    Neighbors=[Neighbors Neighbors2];   %#ok
                end
            end
            if IDX(j)==0
                IDX(j)=C;
            end
            
            k = k + 1;
            if k > numel(Neighbors)
                break;
            end
        end
    end
    
    function Neighbors=RegionQuery(i)
        Neighbors=find(D(i,:)<=epsilon);
    end

end

绘图的matlab代码如下：

function PlotClusterinResult(X, IDX)

    k=max(IDX);

    Colors=hsv(k);

    Legends = ;
    for i=0:k
        Xi=X(IDX==i,:);
        if i~=0
            Style = 'x';
            MarkerSize = 8;
            Color = Colors(i,:);
            Legendsend+1 = ['Cluster #' num2str(i)];
        else
            Style = 'o';
            MarkerSize = 6;
            Color = [0 0 0];
            if ~isempty(Xi)
                Legendsend+1 = 'Noise';
            end
        end
        if ~isempty(Xi)
            plot(Xi(:,1),Xi(:,2),Style,'MarkerSize',MarkerSize,'Color',Color);
        end
        hold on;
    end
    hold off;
    axis equal;
    grid on;
    legend(Legends);
    legend('Location', 'NorthEastOutside');

end

我们可以看到使用的smile数据集，最后聚类成3个部分，刚好是一个 微笑的表情。