图像梯度

Posted 2022-11-26 编号1993

复习图像梯度，发现有很多需要进一步理解的内容，重新整理一篇

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目录

1. 方向导数和梯度
2. python实现
3. 图像梯度的使用

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方向导数和梯度

参考：

第七节 方向导数与梯度

偏导数

数字图像的梯度概念(the gradient of the image)

Image gradient

首先介绍数学概念上的导数和梯度的概念，再引申到图像梯度上

方向导数

方向导数：函数在某一点沿某一方向的变换率

设函数$z=f(x)$在点$P(x)$的某一领域$U(p)$内有定义，若极限

$$\underset{x\to x_0}{\lim }=\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}$$

存在，则称函数$f$在点$x_0$处可导，并称该极限为函数$f$在点$x_0$处的一阶导数，记作$f^{\prime }(x_0)$

对于二元函数$z=f(x,y)$而言，在定义域内的点$(x_0,y_0)$，固定$y_0$，对$x_0$增加增量$△x$，那么可得到函数$z$对于$x$方向的偏导数：

$$\frac{\partial z}{\partial x}=\underset{△x\to 0}{\lim }\frac{f(x_0+△x,y_0))-f(x_0,y_0)}{△x}$$

同样有对$y$方向的偏导数：

$$\frac{\partial z}{\partial y}=\underset{△y\to 0}{\lim }\frac{f(x_0,y_0+△y))-f(x_0,y_0)}{△y}$$

对于图像而言，通常将它作为离散二维信号进行处理，所以使用有限差分计算导数

对$x$方向的偏导数：

$$\frac{\partial z}{\partial x}=f(x_0+1,y_0)-f(x_0,y_0)$$

对$y$方向的偏导数：

$$\frac{\partial z}{\partial y}=f(x_0,y_0+1)-f(x_0,y_0)$$

有限差分

参考：

Finite difference

有限差分

中心差分

差分

有3种计算差分方式：

• 向前差分（forward difference）
  • $△f(x_k)=f(x_{k+1})-f(x_k)$，$△$表示向前差分算子
• 向后差分（backward difference）
  • $▽f(x_k)=f(x_k)-f(x_{k-1})$，$▽$表示向后差分算子
• 中心差分（central/centered difference）
  • $\delta f(x_k)=\frac{f(x_{k+1})-f(x_{k-1})}{2}$，$\delta$表示中心差分算子
  以上是关于图像梯度的主要内容，如果未能解决你的问题，请参考以下文章

  openCV：图像的梯度

  Atitit 图像处理 深刻理解梯度原理计算.v1 qc8

  气泡的图像增强

  opencv-python图像处理 ----图像梯度Sobel算子

  OpenCV-Python-图像梯度与边缘检测

  OpenCV-形态学梯度（GRADIENT）