[LeetCode]剑指 Offer 47. 礼物的最大价值

Posted 2022-11-25 Spring-_-Bear

在一个 m * n 的棋盘的每一格都放有一个礼物，每个礼物都有一定的价值（价值大于 0）。你可以从棋盘的左上角开始拿格子里的礼物，并每次向右或者向下移动一格、直到到达棋盘的右下角。给定一个棋盘及其上面的礼物的价值，请计算你最多能拿到多少价值的礼物？

示例 1:

输入:
[
[1,3,1],
[1,5,1],
[4,2,1]
]
输出: 12
解释: 路径 1→3→5→2→1 可以拿到最多价值的礼物

提示：

• 0 < grid.length <= 200
• 0 < grid[0].length <= 200

题解：

设 f(i, j) 为从棋盘左上角走至单元格 (i, j) 的礼物最大累计价值，易得到以下递推关系：f(i, j) 等于 f(i, j-1) 和 f(i-1, j) 中的较大值加上当前单元格礼物价值 grid(i, j)，即 f(i, j) = max[f(i,j−1), f(i−1,j)] + grid(i ,j)

动态规划解析：

• 状态定义： 设动态规划矩阵 dp，dp(i,j) 代表从棋盘的左上角开始，到达单元格 (i,j) 时能拿到礼物的最大累计价值
• 转移方程：
  
• 初始状态： dp[0][0] = grid[0][0]，即到达单元格 (0,0) 时能拿到礼物的最大累计价值为 grid[0][0]
• 返回值： dp[m-1][n-1]，m, n 分别为矩阵的行高和列宽，即返回 dp 矩阵右下角元素

	/**
     * 剑指 Offer 47. 礼物的最大价值
     */
    public int maxValue(int[][] grid) 
        int rows = grid.length;
        int cols = grid[0].length;

        for (int i = 0; i < rows; i++) 
            for (int j = 0; j < cols; j++) 
                if (i == 0 && j== 0) 
                    continue;
                

                if (i == 0) 
                    // 第一行的价值 = 当前单元格价值 + 向左一格的价值
                    grid[i][j] += grid[i][j - 1] ;
                 else if(j == 0) 
                    // 第一列价值 = 当前单元格价值 + 向上一格的价值
                    grid[i][j] += grid[i - 1][j];
                 else 
                    // f(i, j) = max[f(i,j−1), f(i−1,j)] + grid(i ,j)
                    grid[i][j] += Math.max(grid[i - 1][j], grid[i][j - 1]);
                
            
        
        return grid[rows - 1][cols - 1];
    

逻辑优化：

	/**
     * 剑指 Offer 47. 礼物的最大价值
     */
    public int maxValue(int[][] grid) 
        int rows = grid.length;
        int cols = grid[0].length;

        // 初始化第一行
        for (int i = 1; i < cols; i++) 
            grid[0][i] += grid[0][i - 1];
        
        // 初始化第一列
        for (int j = 1; j < rows; j++) 
            grid[j][0] += grid[j - 1][0];
        

        for (int i = 1; i < rows; i++) 
            for (int j = 1; j < cols; j++) 
                grid[i][j] += Math.max(grid[i - 1][j], grid[i][j - 1]);
            
        
        return grid[rows - 1][cols - 1];
    

来源：力扣（LeetCode）
链接：https://leetcode.cn/problems/li-wu-de-zui-da-jie-zhi-lcof