人工智能数学基础--概率与统计6：关于概率统计中的排列组合

Posted 2022-11-24 LaoYuanPython

一、排列的表示

n个相异物件中取r个（0≤r≤n）的不同排列总数记为：

注意，这里的记号中n与r的上下顺序与一般的排列定义是相反的。

二、组合的表示

n个相异物件中取r个（0≤r≤n）的不同组合总数记为：

注意，这里的记号中n与r的上下顺序与一般的组合定义也是相反的。因此概率统计内会用到一个更通用的记号来表示这个组合：

注意：

1. 上述公式（2.3）中，左边的组合数记号称为组合系数；
2. 在概率统计中，只要r为非负整数，n为任何实数上述公式都成立，例如n=-1时：
   

三、和组合相关的几个公式

1. 组合系数又称为二项式系数，因为它出现在下面熟知的二项式展开公式中：
   
   2.4式中令a = b = 1，则可以得到：
   
   2.4式中令a = -1，b = 1，则可以得到：
   

2. 另一个有用的公式
   
   注：当取等式左边的j=k时，右边的公式中两个相乘的式子得到所有x^k的系数就可以得到公式2.5.

3. n个相异物件分成k（0≤k≤n）堆，每堆个数为r1，r2，…，rk，（r1，r2，…，rk为非负整数，其和为n），不同组合总数为：n!/（r1!..rk!）。
   注意：
   1>、这里堆的次序不同会作为不同的分法，如a、b、c、d、e分成三堆，则(ac)、(b)、(de)和(b)、(ac)、(de)算作两种不同分法；
   2>这个组合公式又称为多项式系数，因为它是(x1+…+xk)ⁿ的展开式中x1^r1…xk^rk这一项的系数。

四、小结

之所以介绍排列统计的知识，一方面是因为概率统计中的排列组合与学概率统计以前学习的排列组合有所不同，另外排列组合是古典概率的主要工具。

具体来说，概率统计中的排列组合在表示上与学概率统计以前学习的排列组合略有不同，并且在组合计算中将n选r的n取值范围扩展到了整个实数域。

另外上面介绍的几个排列组合计算公式是古典概率常用工具，熟练应用这些公式有助于古典概率的快速计算。

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