读《趣学算法》:重开算法之门,神奇的兔子数列(斐波那契数列)

Posted 阿迷创客

tags:

篇首语:本文由小常识网(cha138.com)小编为大家整理,主要介绍了读《趣学算法》:重开算法之门,神奇的兔子数列(斐波那契数列)相关的知识,希望对你有一定的参考价值。

14天阅读挑战赛

文章目录

系列文章

第1篇:读《趣学算法》:重开算法之门,时间复杂度与空间复杂度

1. 前言

继续读《趣学算法》,这一节,读到了神奇的兔子数列,让我们将算法的改进,进行到底~。

2. 神奇的兔子数列(斐波那契数列)

描述:假设有一对出生的兔子,第二个月进入成熟期,第三个月开始生育兔子,而每对兔子每月能生一对兔子,兔子永不会死去,……,那么由第一对兔子开始,12个月后会有多少对兔子呢?

3. 问题分析

第1个月:1对A新生兔子 (总计1对)
第2个月:1对A成熟的兔子 (总计1对)
第3个月:1对A成熟的兔子+1对AB新生兔子 (总计2对)
第4个月:1对A成熟的兔子+1对AC新生兔子+1对AB成熟兔子 (总计3对)
第5个月: 1对A成熟的兔子+1对AD新生兔子+1对AC成熟兔子+1对AB成熟兔子+ABA新生兔子(总计5对)
第6个月:1对A成熟+1对AE新生+1对AD成熟+1对AC成熟+1对ACA新生+1对AB成熟+1对ABB新生+1对ABA成熟 (总计8对)
第7个月:1对A成熟+1对AF新生+1对AE成熟+1对AD成熟+1对ADA新生+1对AC成熟+1对ACB新生+1对ACA成熟+1对AB成熟+1对ABC新生+1对ABB成熟+1对ABA成熟+1对ABAA新生 (总计13对)
……

从1月开始……第7月依次为:1对、1对、2对、3对、5对、8对、13对

所以可知:从第3个月开始(包含第3个月),之后第n个月兔子的数量是是(n-1)+(n-2)对,列出函数为:

f ( n ) = 1 n < 2 f ( n − 1 ) + f ( n − 2 ) n ≥ 3 f(n)=\\begincases 1 & n<2 \\\\ f(n-1)+f(n-2) & n\\geq3 \\\\ \\endcases f(n)=1f(n1)+f(n2)n<2n3

由此可知,最直接的算法,可以通过递归函数来实现

4. 递归算法:青铜

提示:简单描述算法知识点相关题目题意

4.1 算法实现

#include<stdio.h>
#include<stdlib.h>

int fib(int n)

   if(n <= 2)
   
     printf("n=%d, 有(%d)对兔子, \\n", n, 1);	   
     return 1;
   
   else
   
     int sum = fib(n-1) + fib(n-2);
     printf("n=%d, 有(%d)对兔子, \\n", n, sum);
     return sum;
     




int main(int argc, char **argv)


    int n = atoi(argv[1]);
    printf("计算斐波那契数列,第%d个月有多少个兔子? \\n", n);
    
    int sum = fib(n);
    printf("总计:%d对\\n", sum);
    return 0;


4.2 运行结果

  • 如下,运行结果与我们第2节问题分析的情况是一致的。第7个月将有13对兔子。
szhou@bc04:~/Test$ gcc -o fib Fibonacci.c          
szhou@bc04:~/Test$ ./fib 7
计算斐波那契数列,第7个月有多少个兔子? 
n=2, 有(1)对兔子, 
n=1, 有(1)对兔子, 
n=3, 有(2)对兔子, 
n=2, 有(1)对兔子, 
n=4, 有(3)对兔子, 
n=2, 有(1)对兔子, 
n=1, 有(1)对兔子, 
n=3, 有(2)对兔子, 
n=5, 有(5)对兔子, 
n=2, 有(1)对兔子, 
n=1, 有(1)对兔子, 
n=3, 有(2)对兔子, 
n=2, 有(1)对兔子, 
n=4, 有(3)对兔子, 
n=6, 有(8)对兔子, 
n=2, 有(1)对兔子, 
n=1, 有(1)对兔子, 
n=3, 有(2)对兔子, 
n=2, 有(1)对兔子, 
n=4, 有(3)对兔子, 
n=2, 有(1)对兔子, 
n=1, 有(1)对兔子, 
n=3, 有(2)对兔子, 
n=5, 有(5)对兔子, 
n=7, 有(13)对兔子, 
总计:13对
szhou@bc04:~/Test$ 
  • 改变参数,求第12个月,如下可得 f ( 12 ) = 144 f(12)=144 f(12)=144对兔子
szhou@bc04:~/Test$ ./fib 12
计算斐波那契数列,第12个月有多少个兔子? 
……省略……
n=12, 有(144)对兔子, 
总计:144对
szhou@bc04:~/Test$ 

4.3 时间复杂度:O( 2 n / 2 2^n/2 2n/2)

4.3.1 回顾算法

int fib(int n)

   if(n <= 2)
   
     printf("n=%d, 有(%d)对兔子, \\n", n, 1);	   
     return 1;
   
   else
   
     int sum = fib(n-1) + fib(n-2);
     printf("n=%d, 有(%d)对兔子, \\n", n, sum);
     return sum;
     

4.3.2 分析方法

分析int fib(int n)这个递归函数的方法,其一是按照高等数学的方法,求出斐波那契数列的通项公式,这个对于我来说,忘得太干净。还是走第二条路,画出此函数的计算过程,可以发现它是一个树,可以称之为递归树,下面的每一个圈圈,都是一次计算!为了推导方便,假设n=5。

  • 假设 n = 5
  • 左侧树每次递减1,递减直到2为止,即 h 1 = n − 1 h_1=n-1 h1=n1,此处为4
  • 右侧树每次递减2,递减直到2或1为止,即 h 2 = n / 2 h_2=n/2 h2=n/2,此处为3
  • 可以发现,在 h 2 = n / 2 h_2=n/2 h2=n/2的部分,是满二叉树,这部分的节点数为 2 n / 2 − 1 2^n/2 - 1 2n/21,这是一个指数函数,计算次数会呈爆炸性增长,这不是我们想要的
  • 备注:在下图虚线下的部分,即左侧树,也只有2个节点未计入,在时间复杂度计算中,可以忽略

分析结果:时间复杂度可表示为 O( 2 n / 2 2^n/2 2n/2)

5.算法改进:白银

改进思路:从斐波那契数列的特点,从第3项开始,后面每一项都是前两项的和,我们可以做一个数组,将每次的计算结果都存储起来,这样只需要执行大约n次,即可达到结果。

5.1 代码实现

#include<stdio.h>
#include<stdlib.h>

int fib_pro(int n)

    int *p = malloc(sizeof(int) * (n+1));  //计算1次  
    p[1] = 1; //计算1次
    p[2] = 1; //计算1次   
    for(int i=3; i<=n; i++) 
    
         p[i]=p[i-1]+p[i-2];  //计算n-2次
    
    return p[n];


int main(int argc, char **argv)


    int n = atoi(argv[1]);
    printf("计算斐波那契数列,改进型算法,第%d个月有多少个兔子? \\n", n);
    
    int sum = fib_pro(n);
    printf("总计:%d对\\n", sum);
    return 0;


5.2 时间复杂度: O ( n ) O(n) O(n)

  • 仅关注核心循环部分,可得 T ( n ) = n − 2 T(n)=n-2 T(n)=n2,当 n n n很大的时候,可以约等于 n n n
  • 所以此次改进的算法复杂度可表示为: O ( n ) O(n) O(n)

5.3 运算结果

szhou@bc04:~/Test$ gcc -o fib_pro Fibonacci.c 
szhou@bc04:~/Test$ ./fib_pro 7
计算斐波那契数列,改进型算法,第7个月有多少个兔子? 
总计:13对
szhou@bc04:~/Test$ ./fib_pro 12
计算斐波那契数列,改进型算法,第12个月有多少个兔子? 
总计:144对
szhou@bc04:~/Test$ 

6. 再次改进:能是王者?

从楼上改进算法,我们创建了一个n+1的数组空间,但其实我们只需要最后一个值,所以我们还可以对存储空间,即算法的空间复杂度做一下改进,将空间复杂度从 O ( n ) O(n) O(n)降低为 O ( 1 ) O(1) O(1)

#include<stdio.h>
#include<stdlib.h>

int fib_xPro(int n)

    int temp_1 = 1;
    int temp_2 = 1;
    int temp_3 = 1;

    for(int i=3; i<=n; i++)
             
         temp_3 = temp_1 + temp_2;
         temp_1 = temp_2;
         temp_2 = temp_3;
    
    return temp_3;


int main(int argc, char **argv)


    int n = atoi(argv[1]);
    printf("计算斐波那契数列,改进型算法,第%d个月有多少个兔子? \\n", n);
    
    int sum = fib_xPro(n);
    printf("总计:%d对\\n", sum);
    return 0;


szhou@bc04:~/Test$ gcc -o fib_xPro Fibonacci.c     
szhou@bc04:~/Test$ ./fib_xPro 7
计算斐波那契数列,改进型算法,第7个月有多少个兔子? 
总计:13对
szhou@bc04:~/Test$ ./fib_xPro 12
计算斐波那契数列,改进型算法,第12个月有多少个兔子? 
总计:144对
szhou@bc04:~/Test$ 

7. 结尾语

如有错误,帮忙指正一下哈~

以上是关于读《趣学算法》:重开算法之门,神奇的兔子数列(斐波那契数列)的主要内容,如果未能解决你的问题,请参考以下文章

斐波那契数列算法

js算法集合 javascript实现斐波那契数列 (兔子数列)

js算法集合 javascript实现斐波那契数列 (兔子数列) Javascript实现杨辉三角

Java与算法之 - 斐波那契数列

算法练习2---斐波那契数列java版

Python算法三种斐波那契数列算法