九大经典算法

Posted 2023-04-08 凉亭下

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篇首语：本文由小常识网(cha138.com)小编为大家整理，主要介绍了九大经典算法相关的知识，希望对你有一定的参考价值。

1. 冒泡排序（Bubble Sort）

两个数比较大小，通过两两交换，像水中的泡泡一样，较大的数下沉，较小的数冒起来。

算法描述：

1.比较相邻的元素。如果第一个比第二个大，就交换它们两个；

2.对每一对相邻元素作同样的工作，从开始第一对到结尾的最后一对，这样在最后的元素应该会是最大的数；

3.针对所有的元素重复以上的步骤，除了最后一个；

4.重复步骤1~3，直到排序完成。

动画演示图：

oc代码：

- (NSArray*)bubbleSort:(NSArray*)temArr

NSMutableArray *arr = [NSMutableArray arrayWithArray: temArr];

NSInteger count = arr.count;

for (int i = 0; i < count; i++) // 循环次数

for (int j = 0; j < count - 1 - i; j++) //比较次数

if ([arr[j] intValue] > [arr[j+1] intValue])

NSNumber *temp = arr[j];

arr[j] = arr[j + 1];

arr[j + 1] = temp;





return arr;

swift代码：

func bubbleSort(temArr: [Int] ) -> [Int]

if temArr.count == 0

return []



var arr = temArray

let count = arr.count

for i in 0..<count // 循环次数

for j in 0..<count - 1 - i // 比较次数

if (arr[j] > arr[j + 1] )

let temp = arr[j];

arr[j] = arr[j + 1];

arr[j + 1] = temp;





return arr

2.快速排序

1.从数列中挑出一个元素作为基准。

2. 重新排列数列，把所有的比基准小的放在基准前面，反之放在后面（一样大可任意一边）完成后基准处在分区的中间位置。

3. 通过递归调用把小于基准元素和大雨基准元素的子序列进行排序

算法过程图：

oc代码：

//数据数组

NSArray *temArr = @[@30,@40, @60, @10, @20, @50];

NSMutableArray *arr = [NSMutableArray arrayWithArray:temArr];

[self quickSort:arr low:0 hight: arr.count - 1];

NSLog(@"%@",arr);

- (void)quickSort:(NSMutableArray*)temArr low: (NSInteger)low hight: (NSInteger)hight

if (low >= hight)

return;



NSInteger i = low;

NSInteger j = hight;

id key = temArr[i]; // 参考基数

while (i < j)

while (i < j && [temArr[j] intValue] >= [key intValue]) // 右边j位大于基数位置不变

j--;



if (i == j) // i、j位置重合结束本次循环，当key是目前最小的数时，会出现i=j的情况，

break;



temArr[i] = temArr[j]; //右边j位小于基数位置和i位交换

while (i < j && [temArr[i] intValue] <= [key intValue])

i++;



if (i == j) // 当key是目前最大的数时(m[j]的前面)，会出现i=j的情况

break;



temArr[j] = temArr[i];



temArr[i] = key; // i和j重合时本轮循环结束，将key放入i的位置（则左侧数都比key小，右侧数都比key大）

// key 的左右分别进行快速排序

[self quickSort:temArr low:low hight:i - 1]; // 左递归

[self quickSort:temArr low:i + 1 hight:hight]; // 右递归

swift代码：

var array = [30,40,60,10,20,50]

quickSort(arr: &array, low: 0, hight: array.count - 1 )

print(array)

func quickSort(arr: inout [Int], low: Int, hight: Int )

if low >= hight // 递归结束条件

return



var i = low;

var j = hight;

let key = arr[i] // 基数

while i < j

// 从右边开始比较，比key大的数位置不变

while i < j && arr[j] >= key

j -= 1



// 只要出现一个比key小的数，将这个数放入左边i的位置

arr[i] = arr[j]

// 从左边开始比较，比key小的数位置不变

while i < j && arr[i] <= key

i += 1



// 只要出现一个比key大的数，将这个数放入右边j的位置

arr[j] = arr[i]



arr[i] = key // i和j重合时本轮循环结束，将key放入i的位置（则左侧数都比key小，右侧数都比key大）

// key 的左右分别进行快速排序

quickSort(arr: &arr, low: low, hight: i - 1) // 左递归

quickSort(arr: &arr, low: i + 1, hight: hight) // 右递归

3.插入排序（Insertion Sort）

1.从第一个元素开始，该元素可以认为已经被排序；

2.取出下一个元素，在已经排序的元素序列中从后向前扫描；

3.如果该元素（已排序）大于新元素，将该元素移到下一位置；

4.重复步骤3，直到找到已排序的元素小于或者等于新元素的位置；

5.将新元素插入到该位置后；

6.重复步骤2~5。

动画演示图：

OC代码：

- (NSArray*)insertionSort:(NSArray*)temArr

NSMutableArray *arr = [NSMutableArray arrayWithArray: temArr];

NSInteger count = arr.count;

for (int i = 0; i < count; i++) // 循环次数

// 从已排序的部分中查找 arr[i] 合适的位置插入

for (int j = i; j > 0; j--) // 内循环

if ([arr[j-1] intValue] > [arr[j] intValue])

NSNumber *temp = arr[j];

arr[j] = arr[j - 1];

arr[j - 1] = temp;

else

// 因前面是已排序的，故当不满足比较条件即可结束内循环(肯定比前面的值更大)

break;



return arr;

swift 代码：

func insertSort(temArr: [Int] ) -> [Int]

if temArr.count == 0

return []



var arr = temArray

let count = arr.count

for i in 0..<count // 交换次数

// 从已排序的部分中查找 arr[i] 合适的位置插入

var j = I

while (j > 0)

if (arr[j-1] > arr[j] )

let temp = arr[j];

arr[j] = arr[j - 1];

arr[j - 1] = temp;

else

// 因前面是已排序的，故只要不满足比较条件即可结束内循环，如肯定比前面的值更大

break;



j-=1;





return arr

4.希尔排序（Shell Sort）

希尔排序也是一种插入排序，它是简单插入排序经过改进之后的一个更高效的版本，也称为缩小增量排序，同时该算法是冲破O(n2）的第一批算法之一。它与插入排序的不同之处在于，它会优先比较距离较远的元素

算法描述：

1. 选择一个增量序列t1，t2，…，tk，其中ti>tj，tk=1；

2. 按增量序列个数k，对序列进行k 趟排序；

3. 每趟排序，根据对应的增量ti，将待排序列分割成若干长度为m 的子序列，分别对各子表进行直接插入排序。仅增量因子为1 时，整个序列作为一个表来处理，表长度即为整个序列的长度。

动画演示图：

OC代码:

- (NSArray*)shellSort:(NSArray*)temArr

NSMutableArray *arr = [NSMutableArray arrayWithArray: temArr];

NSInteger count = arr.count; NSInteger gap = count / 2; //间隔系数

while(gap > 0) // if的作用

for (NSInteger i = gap; i < count; i++) // 遍数--分组

NSNumber *temp = arr[i];

NSInteger preIndex = i - gap;

while (preIndex >= 0 && [arr[preIndex] intValue] > [temp intValue]) // 判断位置交换

arr[preIndex + gap] = arr[preIndex];

preIndex -= gap;

arr[preIndex + gap] = temp;



gap /= 2;



return arr;

swift代码：

func shellSort(temArr: [Int] ) -> [Int]

if temArr.count == 0

return []

var arr = temArray

let count = arr.count

var gap = count / 2 //间隔系数

while gap > 0 // if的作用

for i in gap..<count // 遍数--分组

let temp = arr[i]

var preIndex = i - gap

while preIndex >= 0 && arr[preIndex] > temp // 判断位置交换

arr[preIndex + gap] = arr[preIndex]

preIndex -= gap



arr[preIndex + gap] = temp



gap /= 2

return arr

5. 选择排序（Select Sort）

选择排序是直观的排序，从头依次找出最大(或最小值)，和排序元素换位。未排序元素继续重复排序操作。直到排序完毕。双重循环时间复杂度为 O(n^2)

动画演示图：

算法过程图：

OC代码：

//数据数组

NSArray *arr = @[@3,@44, @38, @5, @47, @15, @36, @26, @27, @2, @46, @4, @19, @50, @48];

// 方法调用

NSArray *sortArray = [self selectSort:arr];

NSLog(@"%@",sortArray);

// 选择排序代码

- (NSArray *)selectSort:(NSArray*)temArr

NSMutableArray *arr = [NSMutableArray arrayWithArray: temArr];

NSInteger count = arr.count;

for (int i = 0; i < count; i++) // 交换次数

// 先假设每次循环时，最小数的索引为i

int minIndex = i; // 每一个元素都和剩下的未排序的元素比较

for (int j = i + 1; j < count; j++)

if ([arr[minIndex] intValue] > [arr[j] intValue]) //寻找最小数

minIndex = j; //将最小数的索引保存



//经过一轮循环，就可以找出第一个最小值的索引，然后把最小值放到i的位置

NSNumber *temp = arr[i];

arr[i] = arr[minIndex];

arr[minIndex] = temp;



return arr;

swift 代码：

// 待排序数组

var temArray = [3,44,38,5,47,15,36,26,27,2,46,4,19,50,48]

// 调用方法

let sortArray = selectSort(temArr: temArray)

// 定义选择排序方法

func selectSort2(temArr: [Int] ) -> [Int]

if temArr.count == 0

return []



var arr = temArray

let count = arr.count

for i in 0..<count

// 交换次数

// 先假设每次循环时，最小数的索引为i

var minIndex = i // 每一个元素都和剩下的未排序的元素比较

for j in i+1..<count

if arr[minIndex] > arr[j] //寻找最小数

minIndex = j //将最小数的索引保存



//经过一轮循环，就可以找出第一个最小值的索引，然后把最小值放到i的位置

let temp = arr[i]

arr[i] = arr[minIndex]

arr[minIndex] = temp



return arr

6.堆排序

思路分析：

堆是具有以下性质的完全二叉树：每个结点的值都大于或等于其左右孩子结点的值，称为大顶堆；或者每个结点的值都小于或等于其左右孩子结点的值，称为小顶堆

大顶堆：arr[i] >= arr[2i+1] && arr[i] >= arr[2i+2]

小顶堆：arr[i] <= arr[2i+1] && arr[i] <= arr[2i+2]

堆排序的基本思想是：将待排序序列构造成一个大顶堆，此时，整个序列的最大值就是堆顶的根节点。将其与末尾元素进行交换，此时末尾就为最大值。然后将剩余n-1个元素重新构造成一个堆，这样会得到n个元素的次小值。如此反复执行，便能得到一个有序序列了

动图展示：

OC代码：

- (void)heapSort:(NSMutableArray*)arr

//1.构建大顶堆

for (NSInteger i = arr.count/2 -1 ; i >= 0; i--)

//从第一个非叶子结点从下至上，从右至左调整结构

[self adjustHeap:arr i:i length:arr.count];



//2.调整堆结构+交换堆顶元素与末尾元素

for (NSInteger j = arr.count - 1; j > 0; j--)

//将堆顶元素与末尾元素进行交换

NSNumber *temp = arr[0];

arr[0] = arr[j];

arr[j] = temp;

//重新对堆进行调整

[self adjustHeap:arr i:0 length:j];



/** 调整大顶堆（仅是调整过程，建立在大顶堆已构建的基础上） */

- (void)adjustHeap:(NSMutableArray*)arr i: (NSInteger)i length: (NSInteger)length

NSNumber *temp = arr[i];

for (NSInteger k = i*2+1; k < length; k = k*2+1)

//如果右孩子大于做孩子，则指向右孩子

if (k+1 < length && [arr[k] intValue]< [arr[k + 1] intValue])

k++;



//如果最大的孩子大于当前节点，则将大孩子赋给当前节点，修改当前节点为其大孩子节点，再向下走。

if ([arr[k] intValue] > [temp intValue])

arr[i] = arr[k];

i = k;

else

break;





//将temp放到最终位置

arr[i] = temp;

九大排序算法

如果要转载，需要注明出处： http://blog.csdn.net/xiazdong

本文是 http://blog.csdn.net/xiazdong/article/details/7304239 的补充，当年看了《大话数据结构》总结的，但是现在看了《算法导论》，发现以前对排序的理解还不深入，所以打算对各个排序的思想再整理一遍。

本文首先介绍了基于比较模型的排序算法，即最坏复杂度都在Ω(nlgn)的排序算法，接着介绍了一些线性时间排序算法，这些排序算法虽然都在线性时间，但是都是在对输入数组有一定的约束的前提下才行。

这篇文章参看了《算法导论》第2、3、4、6、7、8章而总结。

算法的由来：9世纪波斯数学家提出的：“al-Khowarizmi”

排序的定义：

输入：n个数：a1,a2,a3,...,an

输出：n个数的排列:a1‘,a2‘,a3‘,...,an‘，使得a1‘<=a2‘<=a3‘<=...<=an‘。

In-place sort（不占用额外内存或占用常数的内存）：插入排序、选择排序、冒泡排序、堆排序、快速排序。

Out-place sort：归并排序、计数排序、基数排序、桶排序。

当需要对大量数据进行排序时，In-place sort就显示出优点，因为只需要占用常数的内存。

设想一下，如果要对10000个数据排序，如果使用了Out-place sort，则假设需要用200G的额外空间，则一台老式电脑会吃不消，但是如果使用In-place sort，则不需要花费额外内存。

stable sort：插入排序、冒泡排序、归并排序、计数排序、基数排序、桶排序。

unstable sort：选择排序(5 8 5 2 9)、快速排序、堆排序。

为何排序的稳定性很重要？

在初学排序时会觉得稳定性有这么重要吗？两个一样的元素的顺序有这么重要吗？其实很重要。在基数排序中显得尤为突出，如下：

算法导论习题8.3-2说：如果对于不稳定的算法进行改进，使得那些不稳定的算法也稳定？

其实很简单，只需要在每个输入元素加一个index，表示初始时的数组索引，当不稳定的算法排好序后，对于相同的元素对index排序即可。

基于比较的排序都是遵循“决策树模型”，而在决策树模型中，我们能证明给予比较的排序算法最坏情况下的运行时间为Ω(nlgn)，证明的思路是因为将n个序列构成的决策树的叶子节点个数至少有n!，因此高度至少为nlgn。

线性时间排序虽然能够理想情况下能在线性时间排序，但是每个排序都需要对输入数组做一些假设，比如计数排序需要输入数组数字范围为[0,k]等。

在排序算法的正确性证明中介绍了”循环不变式“，他类似于数学归纳法，"初始"对应"n=1"，"保持"对应"假设n=k成立，当n=k+1时"。

一、插入排序

特点：stable sort、In-place sort

最优复杂度：当输入数组就是排好序的时候，复杂度为O(n)，而快速排序在这种情况下会产生O(n^2)的复杂度。

最差复杂度：当输入数组为倒序时，复杂度为O(n^2)

插入排序比较适合用于“少量元素的数组”。

其实插入排序的复杂度和逆序对的个数一样，当数组倒序时，逆序对的个数为n(n-1)/2，因此插入排序复杂度为O(n^2)。

在算法导论2-4中有关于逆序对的介绍。

伪代码：

技术分享

证明算法正确性：

循环不变式：在每次循环开始前，A[1...i-1]包含了原来的A[1...i-1]的元素，并且已排序。

初始：i=2，A[1...1]已排序，成立。

保持：在迭代开始前，A[1...i-1]已排序，而循环体的目的是将A[i]插入A[1...i-1]中，使得A[1...i]排序，因此在下一轮迭代开始前，i++，因此现在A[1...i-1]排好序了，因此保持循环不变式。

终止：最后i=n+1，并且A[1...n]已排序，而A[1...n]就是整个数组，因此证毕。

而在算法导论2.3-6中还问是否能将伪代码第6-8行用二分法实现？

实际上是不能的。因为第6-8行并不是单纯的线性查找，而是还要移出一个空位让A[i]插入，因此就算二分查找用O(lgn)查到了插入的位置，但是还是要用O(n)的时间移出一个空位。

问：快速排序（不使用随机化）是否一定比插入排序快？

答：不一定，当输入数组已经排好序时，插入排序需要O(n)时间，而快速排序需要O(n^2)时间。

递归版插入排序

二、冒泡排序

特点：stable sort、In-place sort

思想：通过两两交换，像水中的泡泡一样，小的先冒出来，大的后冒出来。

最坏运行时间：O(n^2)

最佳运行时间：O(n^2)（当然，也可以进行改进使得最佳运行时间为O(n)）

算法导论思考题2-2中介绍了冒泡排序。

伪代码：

证明算法正确性：

运用两次循环不变式，先证明第4-6行的内循环，再证明外循环。

内循环不变式：在每次循环开始前，A[j]是A[j...n]中最小的元素。

初始：j=n，因此A[n]是A[n...n]的最小元素。

保持：当循环开始时，已知A[j]是A[j...n]的最小元素，将A[j]与A[j-1]比较，并将较小者放在j-1位置，因此能够说明A[j-1]是A[j-1...n]的最小元素，因此循环不变式保持。

终止：j=i，已知A[i]是A[i...n]中最小的元素，证毕。

接下来证明外循环不变式：在每次循环之前，A[1...i-1]包含了A中最小的i-1个元素，且已排序：A[1]<=A[2]<=...<=A[i-1]。

初始：i=1，因此A[1..0]=空，因此成立。

保持：当循环开始时，已知A[1...i-1]是A中最小的i-1个元素，且A[1]<=A[2]<=...<=A[i-1]，根据内循环不变式，终止时A[i]是A[i...n]中最小的元素，因此A[1...i]包含了A中最小的i个元素，且A[1]<=A[2]<=...<=A[i-1]<=A[i]

终止：i=n+1，已知A[1...n]是A中最小的n个元素，且A[1]<=A[2]<=...<=A[n]，得证。

在算法导论思考题2-2中又问了”冒泡排序和插入排序哪个更快“呢？

一般的人回答：“差不多吧，因为渐近时间都是O(n^2)”。

但是事实上不是这样的，插入排序的速度直接是逆序对的个数，而冒泡排序中执行“交换“的次数是逆序对的个数，因此冒泡排序执行的时间至少是逆序对的个数，因此插入排序的执行时间至少比冒泡排序快。

递归版冒泡排序

改进版冒泡排序

最佳运行时间：O(n)

最坏运行时间：O(n^2)

三、选择排序

特性：In-place sort，unstable sort。

思想：每次找一个最小值。

最好情况时间：O(n^2)。

最坏情况时间：O(n^2)。

伪代码：

证明算法正确性：

循环不变式：A[1...i-1]包含了A中最小的i-1个元素，且已排序。

初始：i=1，A[1...0]=空，因此成立。

保持：在某次迭代开始之前，保持循环不变式，即A[1...i-1]包含了A中最小的i-1个元素，且已排序，则进入循环体后，程序从 A[i...n]中找出最小值放在A[i]处，因此A[1...i]包含了A中最小的i个元素，且已排序，而i++，因此下一次循环之前，保持循环不变式：A[1..i-1]包含了A中最小的i-1个元素，且已排序。

终止：i=n，已知A[1...n-1]包含了A中最小的i-1个元素，且已排序，因此A[n]中的元素是最大的，因此A[1...n]已排序，证毕。

算法导论2.2-2中问了"为什么伪代码中第3行只有循环n-1次而不是n次"？

在循环不变式证明中也提到了，如果A[1...n-1]已排序，且包含了A中最小的n-1个元素，则A[n]肯定是最大的，因此肯定是已排序的。

递归版选择排序

递归式：

T(n)=T(n-1)+O(n)

=> T(n)=O(n^2)

四、归并排序

特点：stable sort、Out-place sort

思想：运用分治法思想解决排序问题。

最坏情况运行时间：O(nlgn)

最佳运行时间：O(nlgn)

分治法介绍：分治法就是将原问题分解为多个独立的子问题，且这些子问题的形式和原问题相似，只是规模上减少了，求解完子问题后合并结果构成原问题的解。

分治法通常有3步：Divide（分解子问题的步骤）、 Conquer（递归解决子问题的步骤）、 Combine（子问题解求出来后合并成原问题解的步骤）。

假设Divide需要f(n)时间，Conquer分解为b个子问题，且子问题大小为a，Combine需要g(n)时间，则递归式为：

T(n)=bT(n/a)+f(n)+g(n)

算法导论思考题4-3（参数传递）能够很好的考察对于分治法的理解。

就如归并排序，Divide的步骤为m=(p+q)/2，因此为O(1)，Combine步骤为merge()函数，Conquer步骤为分解为2个子问题，子问题大小为n/2，因此：

归并排序的递归式：T(n)=2T(n/2)+O(n)

而求解递归式的三种方法有：

(1)替换法：主要用于验证递归式的复杂度。

(2)递归树：能够大致估算递归式的复杂度，估算完后可以用替换法验证。

(3)主定理：用于解一些常见的递归式。

伪代码：

证明算法正确性：

其实我们只要证明merge()函数的正确性即可。

merge函数的主要步骤在第25~31行，可以看出是由一个循环构成。

循环不变式：每次循环之前，A[p...k-1]已排序，且L[i]和R[j]是L和R中剩下的元素中最小的两个元素。

初始：k=p，A[p...p-1]为空，因此已排序，成立。

保持：在第k次迭代之前，A[p...k-1]已经排序，而因为L[i]和R[j]是L和R中剩下的元素中最小的两个元素，因此只需要将L[i]和R[j]中最小的元素放到A[k]即可，在第k+1次迭代之前A[p...k]已排序，且L[i]和R[j]为剩下的最小的两个元素。

终止：k=q+1，且A[p...q]已排序，这就是我们想要的，因此证毕。

归并排序的例子：

问：归并排序的缺点是什么？

答：他是Out-place sort，因此相比快排，需要很多额外的空间。

问：为什么归并排序比快速排序慢？

答：虽然渐近复杂度一样，但是归并排序的系数比快排大。

问：对于归并排序有什么改进？

答：就是在数组长度为k时，用插入排序，因为插入排序适合对小数组排序。在算法导论思考题2-1中介绍了。复杂度为O(nk+nlg(n/k)) ，当k=O(lgn)时，复杂度为O(nlgn)

五、快速排序

Tony Hoare爵士在1962年发明，被誉为“20世纪十大经典算法之一”。

算法导论中讲解的快速排序的PARTITION是Lomuto提出的，是对Hoare的算法进行一些改变的，而算法导论7-1介绍了Hoare的快排。

特性：unstable sort、In-place sort。

最坏运行时间：当输入数组已排序时，时间为O(n^2)，当然可以通过随机化来改进（shuffle array 或者 randomized select pivot）,使得期望运行时间为O(nlgn)。

最佳运行时间：O(nlgn)

快速排序的思想也是分治法。

当输入数组的所有元素都一样时，不管是快速排序还是随机化快速排序的复杂度都为O(n^2)，而在算法导论第三版的思考题7-2中通过改变Partition函数，从而改进复杂度为O(n)。

注意：只要partition的划分比例是常数的，则快排的效率就是O(nlgn)，比如当partition的划分比例为10000:1时（足够不平衡了），快排的效率还是O(nlgn)

“A killer adversary for quicksort”这篇文章很有趣的介绍了怎么样设计一个输入数组，使得quicksort运行时间为O(n^2)。

伪代码：

随机化partition的实现：

改进当所有元素相同时的效率的Partition实现：

证明算法正确性：

对partition函数证明循环不变式：A[p...i]的所有元素小于等于pivot，A[i+1...j-1]的所有元素大于pivot。

初始：i=p-1,j=p，因此A[p...p-1]=空，A[p...p-1]=空，因此成立。

保持：当循环开始前，已知A[p...i]的所有元素小于等于pivot，A[i+1...j-1]的所有元素大于pivot，在循环体中，

- 如果A[j]>pivot，那么不动，j++，此时A[p...i]的所有元素小于等于pivot，A[i+1...j-1]的所有元素大于pivot。

- 如果A[j]<=pivot，则i++，A[i+1]>pivot，将A[i+1]和A[j]交换后，A[P...i]保持所有元素小于等于pivot，而A[i+1...j-1]的所有元素大于pivot。

终止：j=r，因此A[p...i]的所有元素小于等于pivot，A[i+1...r-1]的所有元素大于pivot。

六、堆排序

1964年Williams提出。

特性：unstable sort、In-place sort。

最优时间：O(nlgn)

最差时间：O(nlgn)

此篇文章介绍了堆排序的最优时间和最差时间的证明：http://blog.csdn.net/xiazdong/article/details/8193625

思想：运用了最小堆、最大堆这个数据结构，而堆还能用于构建优先队列。

优先队列应用于进程间调度、任务调度等。

堆数据结构应用于Dijkstra、Prim算法。

证明算法正确性：

（1）证明build_max_heap的正确性：

循环不变式：每次循环开始前，A[i+1]、A[i+2]、...、A[n]分别为最大堆的根。

初始：i=floor(n/2)，则A[i+1]、...、A[n]都是叶子，因此成立。

保持：每次迭代开始前，已知A[i+1]、A[i+2]、...、A[n]分别为最大堆的根，在循环体中，因为A[i]的孩子的子树都是最大堆，因此执行完MAX_HEAPIFY(A,i)后，A[i]也是最大堆的根，因此保持循环不变式。

终止：i=0，已知A[1]、...、A[n]都是最大堆的根，得到了A[1]是最大堆的根，因此证毕。

（2）证明heapsort的正确性：

循环不变式：每次迭代前，A[i+1]、...、A[n]包含了A中最大的n-i个元素，且A[i+1]<=A[i+2]<=...<=A[n]，且A[1]是堆中最大的。

初始：i=n，A[n+1]...A[n]为空，成立。

保持：每次迭代开始前，A[i+1]、...、A[n]包含了A中最大的n-i个元素，且A[i+1]<=A[i+2]<=...<=A[n]，循环体内将A[1]与A[i]交换，因为A[1]是堆中最大的，因此A[i]、...、A[n]包含了A中最大的n-i+1个元素且A[i]<=A[i+1]<=A[i+2]<=...<=A[n]，因此保持循环不变式。

终止：i=1，已知A[2]、...、A[n]包含了A中最大的n-1个元素，且A[2]<=A[3]<=...<=A[n]，因此A[1]<=A[2]<=A[3]<=...<=A[n]，证毕。