卡特兰数

Posted 2022-11-02 Michael-zhou

一个童鞋跟我提过一个问题：说1-12 这 12 个数，分成 2 组，然后每组按大小排序，其中一组中的数总是比另外一组中对应顺序的数要大，问有多少种情况？我还真做不出来，他告诉 me 说这是Catalan数。即使他这么说，me 貌似还是不太明白。不过这不影响，me 简单搜索一下这个数(其实me以前就有所耳闻)，有好几个用处，简单罗列一下。
平衡括号
平衡括号：在一个合法的算术表达式中可以出现的括号都是平衡括号，更专业一点的说法应该是“所有的左括号和右括号可以建立一对一的对应关系，并且左括号在对应的右括号左侧”。像()(), (())(), (()())(()) 都是平衡括号，但是(()))(, ()())() 就不是平衡括号。
观察一下特点，判断所给的一个括号串是不是平衡很容易：设置一个计数器，初始值为 0，然后从左向右数，遇到左括号 +1，遇到右括号 -1，在过程中不出现负数，并且最终的计数器还是 0，那么就是平衡括号；除此之外就是非平衡括号。
现在的问题是，如果有 n 对括号，问平衡的情况有多少种？暂时可以数一下 n = 1, 2, 3, 4 时的情况：
n = 1: ()
n = 2: ()(), (())
n = 3: ()()(), ()(()), (())(), (()()), ((()))
n = 4:()()()(), ()()(()), ()(())(), ()(()()), ()((())), (())()(), (())(()), (()())(), ((()))(), (()()()), (()(())), ((())()), ((()())), (((())))
入栈出栈
问：n 个数入栈出栈，问情况有多少种？
比如全部入进去然后倒退出栈是 1 种；入一个出一个，全部都这样，是 1 种。入栈出栈的情况和n个数相不相同没有关系。因为可以视第一个入栈的为 1，第二个为 2，最后一个为 n。如果是 n 个相同的数的入栈出栈情况，假设数字都是括号，入栈是左括号，出栈是右括号，那么一种入栈出栈情况应该就对应平衡括号中的一种情况，所以，该问题和问题1是等价问题。
走方格
问：一个 n*n 的方格，从左下角走到右上角，只能向右和向上走，但是不能绕过左下角和右上角确定的对角线，问有多少种走法？
如果将向右走看做是入一下栈，向上走是出一下栈，不能绕道对角线以上，也就是一种合法的入栈出栈，从左下角开始到右上角，要入 n 次栈出 n 次栈，所以一种走法对应一种 n 个数的入栈出栈情况，于是，此问题和问题2是等价问题；
二叉树的形状
问：n 个结点的二叉树的形状有多少种？
所谓的二叉树，就是有一个根结点，有棵左子树还有一棵右子树。n = 3: ()()(), ()(()), (())(), (()()), ((())) 时的括号匹配，me 们换个角度看这个表示：第一个成对的括号是树根，括号内部的子串和括号右边的子串依然是平衡括号串，把内部的看做是左子树，把右边的看成是右子树，比如(())()对应的是有一个左节点和一个右节点的二叉树，()()() 表示只有右子树的二叉树(右子树只有一个右结点)；如果上面的对应成立(递归证明)，那么二叉树的情况就和问题1 是等价问题；
矩阵链乘
问：A = A0 * A1 * A2 * … * An，Ai 都是矩阵，式子合法，那么问，如果使用括号来改变计算顺序的话，计算方法有多少种？
本来的乘法运算是从左到右运算，me 们将运算使用栈模拟一下：首先将 A0 压入栈底，然后看 A1，和栈顶的 A0 计算结果，栈顶 A0 出栈而结果入栈；看A2，和栈顶元素计算结果，栈顶元素出栈、结果入栈；…如果使用括号改变了顺序，比如A0*(A1*A2)*…看A1的时候，入栈不计算结果，看A2的时候，计算结果，A1出栈结果入栈；…如果这样看来的话，每一种计算顺序，实际上对应一种 A0-A(n-1) 的入栈出栈情况，于是，此问题和问题2等价；
…

有时候上面几个问题的等价不是那么明显，然而上面的几个问题都可以用同一个递推公式来表示：
C0 = 1 ;
Cn = ∑ Ci · C(n-1-i) ;
举例：
C0 = 1; C1 = 1; C2 = 2; C3 = 5; C4 = 14;
C5 = C0C4 + C1C3 + C2C2 + C3C1 + C4C0 = 14+5+4+5+14 = 42
上面的几个问题都是等价问题，所得的数就是 Catalan 数，可以计算出通项公式(可以使用生成函数法)：
Cn = C(n,2n)/(n+1)，其中C(m,n)是 n 个不同的数中取 m 个数形成的组合数;
Cn=C(n,2n)-C(n-1,2n)