回溯算法-组合

Posted 2022-10-28 执章学长

原题

https://leetcode.cn/problems/combinations/

思路

回溯算法实际上就是深度优先算法的一种。也就是说，当我们在使用一个深度优先算法（一般用递归）的时候，有时候操作完一个步骤需要回退到上一步，这就叫回溯。

那么，既然回溯就是dfs的一种，我们前面也讲过dfs的步骤，最重要的一步就是一次操作。首先，这道题的是想要求组合。那么假设k=2时，是不是表示我们从数字中选取两次，记录所有的结果，那么其实所谓的一次操作其实就是选取一个数字，并且，我们知道组合【1，2】和组合【2，1】是一样的（看做一个），所以说，当我们选择了【1，2】之后，我们在第一次选择【2】的时候，第二次就不能选择【1】了。那么我们既然已经知道了单次操作是啥，是不是只需要递归就好了。（回溯等后面来讲）。

分析的过程正如上面这张图，因为k等于2，也就是说我们每个小集合需要选取两次。第一次操作时，我们可以选择任何一个数【1 2 3 4】，第二次操作时，我们要去除掉前面已经选过的，防止【1 2】和【2 1】这种情况；也要去除掉上一次（k=1）时选取的，即防止集合变成【1 1】这种。

好的，以上这些内容和我前面写的深度优选算法（递归）是一样的（其实回溯算法一般来说，本质也是在递归的基础上实现的）。

那么我们为什么要使用回溯呢？
这里考虑一个问题。首先，我们因为要存储子集对吧，所以我们一开始要定义一个大的集合存储所有的子集，其次要定义一个子集，用于存储一次选择，例如【1，2】。那么我们思考一下上面递归的过程。这里一定要结合上面的图，才能体会到回溯的精髓。

1. 一开始我们的子集是空的。【】
2. 第一次调用递归函数，选择一个1，此时的临时子集为【1】
3. 接着，再次调用递归函数（即第二次选择数字），选择一个2，此时的集合为【1 2】
4. 好了，此时我们选择了了两次（因为k=2，所以已经选完了），我们将子集装入大集合中。
5. 大集合拥有了一个子集【1 2】，那么此时函数执行完毕，回到上一次，也就是2 3 4给你选。
6. 那么我们这时候如果没有回溯，是不是临时子集目前还是【1 2】？答案是是的。
7. 这里很多新人就会想那我能不能把临时子集清空呢？其实完全没必要，因为临时子集前面的1是我们已经选了的，我们回退到第二层，此时的1是有意义的，那么我们只需要回退掉2就好了（也就是回退掉一次操作，一般都是递归一次就得回退一次）。
8. 那么当我们把【1 2】回退到【1】的时候，我们就可以从 2 3 4 中选择，由于2已经选过了，也就是说接下来是选择3，子集变成【1 3】.
9. 上面的过程实际上就是深度优先算法（递归），只是我们在每次递归的时候都需要一次【回退】，也就是【回溯】。
10. 而回溯在代码中的体现也非常的接地气，无非就是我们在递归前添加了元素，递归后将最后一个元素删除而已。操作不难，主要是理解思想。

代码

class Solution 
    List<List<Integer>> all = new ArrayList<>();
    List<Integer> part = new ArrayList<>();
    public List<List<Integer>> combine(int n, int k) 
        tCombine(n,k,0,new ArrayList());
        return all;
    
    public void tCombine(int n,int k,int index,List<Integer> part) 
        if(k == 0)
            all.add(new ArrayList(part));
        
        if(index == n)
            return;
        
        for(int i = index;i < n;i++)
            part.add(i+1);
            tCombine(n,k-1,i+1,part);
            part.remove(part.size()-1);
        
    

补充

这道题我们说了【回溯】，但是这道题的还可以进一步优化，即通过【剪枝】来减少递归次数。后面会讲。