机器学习:详解半朴素贝叶斯分类AODE原理(附Python实现)

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0 写在前面

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1 独依赖假设

机器学习强基计划4-3:详解朴素贝叶斯分类原理 | 例题分析 | Python实现中我们介绍了朴素贝叶斯之所以“朴素”,是因为其给定了很强的属性独立性假设。然而,属性独立性假设在实际上很难成立,因此引入半朴素贝叶斯分类器(Semi-Naïve Bayes Classifier),其核心思想是:适当考虑部分属性的相互依赖,从而既简化了联合概率计算,又不至于彻底忽略属性间的强依赖关系

半朴素贝叶斯分类器最常见的建模策略是独依赖估计(One-Dependent Estimator, ODE),即假设每个属性在类别外最多依赖于一个属性

f ∗ ( x ) = a r g max ⁡ C ∈ Y P ( C ) ∏ i = 1 d P ( x i ∣ C , p a i ) f^*\\left( \\boldsymbolx \\right) =\\undersetC\\in \\mathcalY\\mathrmarg\\maxP\\left( C \\right) \\prod_i=1^dP\\left( x_i|C, pa_i \\right) f(x)=CYargmaxP(C)i=1dP(xiC,pai)

其中 p a i pa_i pai为属性 x i x_i xi所依赖的父属性。若对 ∀ x i \\forall x_i xi确定了其 p a i pa_i pai,则可按朴素贝叶斯的方式进行贝叶斯分类,因此问题的核心转换为如何确定 p a i pa_i pai

另一个问题是,可以假设属性依赖多个父属性吗?答案是:高阶依赖估计的准确性要求训练样本随指数级增加,在有限样本条件下,一般不适合采用。

2 AODE原理

先介绍一个比较直接的想法——假设所有属性都依赖于同一个父属性,称该属性为超父(super-parent),这种半朴素贝叶斯分类器称为SPODE(Super-Parent ODE)算法。

f ∗ ( x ) = a r g max ⁡ C ∈ Y P ( C ) ∏ i = 1 d P ( x i ∣ C , p a ) f^*\\left( \\boldsymbolx \\right) =\\undersetC\\in \\mathcalY\\mathrmarg\\maxP\\left( C \\right) \\prod_i=1^dP\\left( x_i|C, pa \\right) f(x)=CYargmaxP(C)i=1dP(xiC,pa)

建立在SPODE的基础上,AODE(Averaged ODE)算法是一种基于集成学习机制、更为强大的ODE分类器,其将每个属性作为超父构造SPODE,再加权计算各属性间的平均依赖,即

f ∗ ( x ) = a r g max ⁡ C ∈ Y ∑ i = 1 , ∣ D x i ∣ ⩾ m d P ( C , x i ) ∏ j = 1 d P ( x j ∣ C , x i ) f^*\\left( \\boldsymbolx \\right) =\\undersetC\\in \\mathcalY\\mathrmarg\\max\\sum_i=1,|\\boldsymbolD_x_i|\\geqslant m^dP\\left( C,x_i \\right) \\prod_j=1^dP\\left( x_j|C, x_i \\right) f(x)=CYargmaxi=1,DximdP(C,xi)j=1dP(xjC,xi)

其中 D x i \\boldsymbolD_x_i Dxi为第 i i i属性上取值为 x i x_i xi的样本子集, m m m默认设为30。类似地,AODE的拉普拉斯平滑修正为

P ( C , x i ) = ∣ D C , x i ∣ + 1 ∣ D ∣ + N × N i P ( x j ∣ C , x i ) = ∣ D C , x i , x j ∣ + 1 ∣ D C , x i ∣ + N j \\begincases P\\left( C,x_i \\right) =\\frac|\\boldsymbolD_C,x_i|+1|\\boldsymbolD|+N\\times N_i\\\\ P\\left( x_j|C,x_i \\right) =\\frac|\\boldsymbolD_C,x_i,x_j|+1|\\boldsymbolD_C,x_i|+N_j\\\\\\endcases P(C,xi)=D+N×NiDC,xi+1P(xjC,xi)=DC,xi+NjDC,xi,xj+1

简单说,AODE就是SPODE的加权平均版本

接下来基于上述原理开始编程,并和朴素贝叶斯分类做个比较,看性能有没提升

3 Python实现

3.1 计算类先验概率

'''
* @breif: 计算类先验概率P(C, xi)
* @param[in]: None
* @retval: None


    C1:  
            超父属性(只能是离散属性)
            pa1: 
                    超父属性值
                    px1: 
                            p: p(C1, x1)
                            N: n(C1, x1)
                        
                    ...
                    pxn: ...
                    num(pa1): int 属性a1的可取值数
                
            ...
            pan: ...
        
    ...
    Cn: ...
    num: 类别数


'''    
def calPrior(self):
    # 可选的类别数
    label = np.unique(self.y)
    self.prior['num'] = len(label)

    # 计算先验概率
    for _label in label:
        self.prior[_label] = 
        # 获取标签取值_label的样本集
        labelIndex = np.squeeze(np.argwhere(np.squeeze(self.y)==_label))
        labelX = self.X[:, labelIndex]           
        # 超父特征层
        for i in range(self.d):
            # 属性i的可选属性值列表
            attr = np.unique(self.X[i, :])
            # 可选属性数
            attrNum = len(attr)
            # 离散属性(只有离散属性能作为超父属性)
            if attrNum <= 0.85 * self.m:
                self.prior[_label][str(i)] = 
                self.prior[_label][str(i)]['num'] = attrNum
                # 计算每个取值的联合先验概率
                for a in attr:
                    self.prior[_label][str(i)][a] = 
                    n = int(sum(labelX[i, :] == a))
                    self.prior[_label][str(i)][a]['p'] = (n + self.laplace) / (self.m + self.prior['num'] * attrNum)
                    self.prior[_label][str(i)][a]['N'] = n

3.2 计算属性后验概率

'''
* @breif: 计算属性后验概率P(xj|C, xi)
* @param[in]: None
* @retval: None


    C1:  
            超父属性(只能是离散属性)
            pa1: 
                    超父属性值
                    px1: 
                            常规属性
                            a1: 
                                    type: discrete 离散属性
                                    x1: p(x1)
                                    ...
                                    xn: p(xn)
                                    num(a1): int 属性b1的可取值数
                                
                            a2: 
                                    type: continous 连续属性
                                    mean: 样本均值
                                    std: 标准差
                                
                        
                    ...
                    pxn: ...
                
            ...
            pan: ...
        
    ...
    Cn: ...
    num: 类别数


'''
def calPosterior(self):
    if not self.prior:
        raise ValueError("please calculate prior first!")
    # 

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