P1012 [NOIP1998 提高组] 拼数

Posted 2023-04-05 熬夜写代码的小编

题目描述

设有 �n 个正整数 �1…��a1​…an​，将它们联接成一排，相邻数字首尾相接，组成一个最大的整数。

输入格式

第一行有一个整数，表示数字个数 �n。

第二行有 �n 个整数，表示给出的 �n 个整数 ��ai​。

输出格式

一个正整数，表示最大的整数

输入输出样例

输入 #1复制

3
13 312 343

输出 #1复制

34331213

输入 #2复制

4
7 13 4 246

输出 #2复制

7424613

说明/提示

对于全部的测试点，保证 1≤�≤201≤n≤20，1≤��≤1091≤ai​≤109。

今明两天期末考试，本蒟蒻自忖考得不行，为转移注意力，特地来洛谷更新一下题解 （这是什么神逻辑） 。话说这是本蒟蒻的第一篇题解，也是花了很长时间憋出来的一篇题解（萌新想写题解真难），但原文讲的并不清楚 估计只有我自己能看懂 ，此次修改务求让大伙一看就明白。本题解看着字多，思路还是比较简单的。

本题解重心在证明。先贴下代码，非常简短：

#include<iostream>
#include<string>
#include<algorithm>
using namespace std;

string s[21];int n;
bool cmp(const string &a,const string &b)  // &表示引用
    return (a+b > b+a);

int main(void) 
    cin >> n;
    for(int i=1;i<=n;++i) cin >> s[i];
    sort(s+1,s+n+1,cmp);
    for (int i=1;i<=n;++i) cout << s[i];
    return 0;

证明之前，我们先定义几个符号
��‾ab （a,b是数字字符串）
表示 �+�a+b 也就是把�a和�b连起来写
���‾abc （a,b,c都是数字符串）（当然再多几个字符串也没关系，跟上面一个意思）
没错，这个东西本来是表示数字的，现在被我们借过来表示字符串

�⩾�a⩾b 表示正常的�a大于等于�b （下面这个就是不正常的）
a>=b a,b是数字字符串 表示 �+�⩾�+�a+b⩾b+a
注意区分这两个大于等于！

a*n a是数字字符串 n是正整数 表示把�a连续写�n遍形成的很长的字符串

说明了这么几个奇怪的符号之后，我们正式开始证明。

从代码中可以看出，我们把�a数组按这个 >= 符号 降序 排好序，再直接输出就是正确的答案了。容易发现，对于任意一种排列方式，只要相邻的两个数不满足 前面的 >= 后面的（注意这是那个奇怪的大于等于），那么这种排列肯定不是最优的。也就是说，对于最优排列，肯定有 第一个串 >= 第二个串 第二个串 >= 第三个串 第三个串 >= 第四个串 ... 依此类推。

经过这一些简单的推理，证明的思路实际上很清晰了（千万不要误认为证完了）：只需要再证明传递性（由a>=b 且 b>=c 能否推出 a>=c)。这是最后的一步，也是关键的一步。

先证明一个性质： 如果 a>=b，那么 a*n >= b。 （思路：递推/数学归纳法）

由a>=b即 ��‾⩾��‾ab⩾ba
可知 ���‾⩾���‾aab⩾aba 并且 ���‾⩾���‾aba⩾baa
从而 ���‾⩾���‾aab⩾baa 也就是 a*2>=b

由a*2>=b即 ���‾⩾���‾aab⩾baa 又由 ��‾⩾��‾ab⩾ba
可知 ����‾⩾����‾aaab⩾abaa 并且 ����‾⩾����‾abaa⩾baaa
从而 ����‾⩾����‾aaab⩾baaa 也就是 a*3>=b

依此类推，便能证得 a*n>=b
类似地，由 a>=b，也可以得到 a>=b*n。 相反，如果 a*n>=b 或者 a>=b*n，也能得到 a>=b。（口胡一个证明，如果不满足a>=b这个结论，肯定不满足题设，如果能满足a>=b这个结论，题设肯定成立。大概是一个反证法？）

有了这个结论，我们只要对�,�,�a,b,c各乘上一个合适的整数（没错就是合适），不难证明传递性了。

原以为修改后能改短，却发现它变长了。但是你看我改的这么认真，不点个赞再走吗？

NOIP2016提高A组模拟9.15Math

题目

分析

因为\((-1)^2=1\)，
所以我们只用看\(\sum_{j=1}^md(i·j)\)的值模2的值就可以了。
易证，一个数x，只有当x是完全平方数时，d(x)才为奇数，否则为偶数。
那么设\(i=p*q^2\)，p不包含任何平方因子，
要使\(i·j\)为完全平方数，则\(j=p*k^2\),
因为\(j<=m\)
所以j就有\(\sqrt{\dfrac{m}{p}}\)。
因此我们可以求出每个i对应的p来算出答案。
但对于每个i都求出p的话，时间复杂度为\(O(n\sqrt{n})\)
发现\(i=p*q^2\)，当p固定时，q有很多种方案，
而\(\sqrt{\dfrac{m}{p}}\)也是固定的，
那么如果有一个i，p=i，那么
把这直接把所以是这个p的情况全部加入答案，
跳过并且这些所有的\(这个p*q^2\)。

#include <cmath>
#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstdlib>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#include <queue>
const int maxlongint=2147483647;
const int mo=1000000007;
const int N=10000005;
using namespace std;
long long zs[300000],n,m,ans;
bool bz[N];
int main()
{
    memset(bz,true,sizeof(bz));
    scanf("%lld%lld",&n,&m);
    for(long long i=1;i<=n;i++)
    {
        if(!bz[i])
            continue;
        long long q=sqrt(n/i);
        long long k=sqrt(m/i);
        if(k%2)
            ans-=q;
        else
            ans+=q;
        for(int j=1;j<=q;j++)
            bz[i*j*j]=false;
    }
    printf("%lld",ans);
}