Karatsuba乘法

Posted 2022-09-01 Harris-H

Karatsuba乘法

1.定义

Karatsuba乘法是一种快速乘法。此算法在1960年由Anatolii Alexeevitch Karatsuba 提出，并于1962年得以发表。此算法主要用于两个大数相乘。普通乘法的复杂度是$O(n^2)$，而Karatsuba算法的复杂度仅为$O(n^{{\log }_{2}3})=O(n^{1.585})$

2.时间复杂度证明

每次规模下降一半。

$n=2^k\to k={\log }_{2}n$

$3^k=3^{{\log }_{2}n}=3^{\frac{lo{g}_{3}n}{lo{g}_{3}2}}=(3^{{\log }_{3}n}{)}^{{\log }_{3}2}=n^{{\log }_{3}2}=n^{1.585}$

或者$T(n)=3\times T(\frac{n}{2})+O(n)$ 递推得到。

2.介绍

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3.实例

若两个$n$位数使用Karatsuba乘法，最小运算单位为$\frac{n}{6}$位数进行乘法，需要乘多少次？

因为每次拆分都要乘法三次。

最后一次递归计算3次，解决$\frac{2n}{6}$。

剩下四次递归每次耗费两次，$3+2\times 4=11$次乘法运算。

4.参考文章

传送门1

传送门2