RSA加密算法已知公钥对，求d

Posted 2023-02-18 nufe_wwt

RSA加密算法中求d

• 1 非对称加密算法RSA密匙生成步骤
• 2 已知n、e，如何求出d
• 3 用一个例子说明辗转相除法

1 非对称加密算法RSA密匙生成步骤

1. 选择两个质数 p , q
2. 计算 n , n = p*q
3. 计算欧拉函数值 φ(pq) = (p-1)*(q-1)
4. 选择整数 e ，要求满足 1 < e < φ(pq)
5. 计算 d ，要求满足 ed ≡ 1 mod φ(pq) 也就是 ed mod φ(pq) = 1
6. 保存密匙对

从以上6个步骤中我们可以看到，一共出现了6个“字母”，分别是：p , q , n , φ(pq) , e , d
最后生成的 公匙 为：( n , e ) ， 私钥 为：( n , d )

2 已知n、e，如何求出d

要求 d ，就要先知道 φ(pq) ，就要知道 p 和 q ，意思就是6个字母都知道了。
那在知道n的情况下要求 p 和 q ，就要用到因式分解，所以说要是快速因式分解算法被找到了，那 RSA 算法的安全性就要大大降低了。这里扯远了，收。

在知道公钥，也就是 n 和 e 的情况下，求 d ：

1. 通过 n 推导出 p ， q （因式分解）
2. 通过 p ， q 推导出 φ(pq)
3. 通过 e*d ≡ 1 mod φ(pq) 求得 d

前两步都很好理解，那第三步按照正常的 ed = 1 + kφ(pq) 算的话可以会把人搞䨻。所有就有了辗转相除法在这边的运用。

3 用一个例子说明辗转相除法

还是拿经典的老题目了（课上和搜的博客都是这个，故称之为老！）
例：已知（e=17,n=3233），求另一个密钥。

1. n=3233，自己算出 3233 = 61 * 53 ， 就令 p=61, q=53
2. φ(pq)=(61-1)*(53-1)=3120
3. 由 ed ≡ 1 mod φ(pq) 得式：17d ≡ 1 mod 3120 => d = 2753

这里 d 就是用辗转相除法求得的，具体过程如下：

序号	a	b	c	d
0	3120	17		d0=2753
1	17	9	183	d1=2
2	9	8	1	d2=-1
3	-	1	1	d3=1

d₃=1 是固定的，就是最后一行的值，d₂=0-c₃*d₃,d₁=d₃-c₂*d₂,d₀=d₂-c₁*d₁.
d₀或者a₀+d₀即为d. 这里要注意，当d₀<0时d=a₀+d₀.
d_i = d_i+2 - c_i+1 *d_i+1.

a₀÷b₀=c₁…b₁
a₁=b₀
a₁÷b₁=c₂…b₂
…
在辗转相除法表中a₀就是φ(pq)，b₀就是e
辗转相除法的终止条件是b_k=1

网上看到的
问：一个数很大的数如何快速分解成两个素数的乘积?
答：这只有硬算，没有加速算法。这没有加速算法是密码学得以成立的最根本的原因。也就是说，如果能做到这个，RSA之类的密码学就有问题了

想要更多的了解的话可以去看看这些链接
RSA算法原理