- 第二节：注意力汇聚：Nadaraya-Watson 核回归

Posted 2022-08-23 海轰Pro

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篇首语：本文由小常识网(cha138.com)小编为大家整理，主要介绍了- 第二节：注意力汇聚：Nadaraya-Watson 核回归相关的知识，希望对你有一定的参考价值。

简介

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简介：因C语言结识编程，随后转入计算机专业，获得过国家奖学金，有幸在竞赛中拿过一些国奖、省奖…已保研
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10.2. 注意力汇聚：Nadaraya-Watson 核回归

在本节中，我们将介绍注意力汇聚的更多细节，以便从宏观上了解注意力机制在实践中的运作方式

具体来说，1964年提出的Nadaraya-Watson核回归模型是一个简单但完整的例子，可以用于演示具有注意力机制的机器学习

import torch
from torch import nn
from d2l import torch as d2l

10.2.1. 生成数据集

n_train = 50  # 训练样本数
x_train, _ = torch.sort(torch.rand(n_train) * 5)   # 排序后的训练样本

def f(x):
    return 2 * torch.sin(x) + x**0.8

y_train = f(x_train) + torch.normal(0.0, 0.5, (n_train,))  # 训练样本的输出
x_test = torch.arange(0, 5, 0.1)  # 测试样本
y_truth = f(x_test)  # 测试样本的真实输出
n_test = len(x_test)  # 测试样本数
n_test

Note

def plot_kernel_reg(y_hat):
    d2l.plot(x_test, [y_truth, y_hat], 'x', 'y', legend=['Truth', 'Pred'],
             xlim=[0, 5], ylim=[-1, 5])
    d2l.plt.plot(x_train, y_train, 'o', alpha=0.5);

10.2.2. 平均汇聚

y_hat = torch.repeat_interleave(y_train.mean(), n_test)
plot_kernel_reg(y_hat)

10.2.3. 非参数注意力汇聚

Note

给定一个 $x$ （query）
首先计算 $x$ 与 $x_i$ （key）之间的权重
然后利用这个权重加权 $y_i$ （value）

Note

这个高斯核可以理解为，利用 $x$ 与 $x_i$ 计算 $y_i$ 应该分配的权重

Note

非参数模型：就是预测结果可用利用之前的数据直接计算出来，不需要额外的参数（学习参数）

# X_repeat的形状:(n_test,n_train),
# 每一行都包含着相同的测试输入（例如：同样的查询）
X_repeat = x_test.repeat_interleave(n_train).reshape((-1, n_train))
# x_train包含着键。attention_weights的形状：(n_test,n_train),
# 每一行都包含着要在给定的每个查询的值（y_train）之间分配的注意力权重
attention_weights = nn.functional.softmax(-(X_repeat - x_train)**2 / 2, dim=1)
# y_hat的每个元素都是值的加权平均值，其中的权重是注意力权重
y_hat = torch.matmul(attention_weights, y_train)
plot_kernel_reg(y_hat)

现在，我们来观察注意力的权重

这里测试数据的输入相当于查询，而训练数据的输入相当于键

因为两个输入都是经过排序的，因此由观察可知“查询-键”对越接近，注意力汇聚的注意力权重就越高

d2l.show_heatmaps(attention_weights.unsqueeze(0).unsqueeze(0),
                  xlabel='Sorted training inputs',
                  ylabel='Sorted testing inputs')

unsqueeze(0)，在第0维插入一个维，默认为1
连续插入两次，得到（1，1，…）也就是得到行数为1 列数为1（子图的数量，仅此而已）
参考：https://blog.csdn.net/ljwwjl/article/details/115342632

10.2.4. 带参数注意力汇聚

无参数时，完全由现有数据得到结果，需要大量的数据
可用添加一个可学习参数，这样可以通过一些数据进行训练，得到此参数
准确度会提高

10.2.4.1. 批量矩阵乘法

X = torch.ones((2, 1, 4))
Y = torch.ones((2, 4, 6))
torch.bmm(X, Y).shape

torch.bmm : 两个tensor的矩阵乘法
(2, 1, 6) = (2,1,4) * (2,4,6)

在注意力机制的背景中，我们可以使用小批量矩阵乘法来计算小批量数据中的加权平均值。

weights = torch.ones((2, 10)) * 0.1
values = torch.arange(20.0).reshape((2, 10))
torch.bmm(weights.unsqueeze(1), values.unsqueeze(-1))

(2, 1, 1) = (2,1,10) * (2,10, 1)

10.2.4.2. 定义模型

class NWKernelRegression(nn.Module):
    def __init__(self, **kwargs):
        super().__init__(**kwargs)
        self.w = nn.Parameter(torch.rand((1,), requires_grad=True))
        # 参数w这里是一个标量

    def forward(self, queries, keys, values):
        # queries和attention_weights的形状为(查询个数，“键－值”对个数)
        queries = queries.repeat_interleave(keys.shape[1]).reshape((-1, keys.shape[1]))
        self.attention_weights = nn.functional.softmax(
            -((queries - keys) * self.w)**2 / 2, dim=1)
        # values的形状为(查询个数，“键－值”对个数)
        return torch.bmm(self.attention_weights.unsqueeze(1),
                         values.unsqueeze(-1)).reshape(-1)

Note

10.2.4.3. 训练

# X_tile的形状:(n_train，n_train)，每一行都包含着相同的训练输入
X_tile = x_train.repeat((n_train, 1))
# Y_tile的形状:(n_train，n_train)，每一行都包含着相同的训练输出
Y_tile = y_train.repeat((n_train, 1))
# keys的形状:('n_train'，'n_train'-1)
keys = X_tile[(1 - torch.eye(n_train)).type(torch.bool)].reshape((n_train, -1))
# values的形状:('n_train'，'n_train'-1)
values = Y_tile[(1 - torch.eye(n_train)).type(torch.bool)].reshape((n_train, -1))

训练带参数的注意力汇聚模型时，使用平方损失函数和随机梯度下降

net = NWKernelRegression()
loss = nn.MSELoss(reduction='none')
trainer = torch.optim.SGD(net.parameters(), lr=0.5)
animator = d2l.Animator(xlabel='epoch', ylabel='loss', xlim=[1, 5])

for epoch in range(5):
    trainer.zero_grad()
    l = loss(net(x_train, keys, values), y_train)
    l.sum().backward()
    trainer.step()
    print(f'epoch epoch + 1, loss float(l.sum()):.6f')
    animator.add(epoch + 1, float(l.sum()))

如下所示，训练完带参数的注意力汇聚模型后

我们发现：在尝试拟合带噪声的训练数据时，预测结果绘制的线不如之前非参数模型的平滑

为什么新的模型更不平滑了呢？

我们看一下输出结果的绘制图：

与非参数的注意力汇聚模型相比，
带参数的模型加入可学习的参数后， 曲线在注意力权重较大的区域变得更不平滑

d2l.show_heatmaps(net.attention_weights.unsqueeze(0).unsqueeze(0),
                  xlabel='Sorted training inputs',
                  ylabel='Sorted testing inputs')