leetcode - 学习计划之动态规划入门

Posted 2022-08-08 一杯敬朝阳一杯敬月光

509.斐波那契数列

力扣

题目：斐波那契数 （通常用 F(n) 表示）形成的序列称为 斐波那契数列 。该数列由 0 和 1 开始，后面的每一项数字都是前面两项数字的和。也就是：

F(0) = 0，F(1) = 1
F(n) = F(n - 1) + F(n - 2)，其中 n > 1

给定 n ，请计算 F(n) 。

题解：

一：按照递推公式使用动态规划，时间复杂度O(n)，空间复杂度O(1)。

class Solution(object):
    def fib(self, n):
        if n <= 1:
            return n

        pre, cur = 0, 1
        for _ in range(2, n + 1):
            cur, pre = cur + pre, cur 
        return cur

 二：矩阵快速幂，时间复杂度O(lgn)，空间复杂度O(1)

class Solution(object):
    def fib(self, n):
        if n <= 1:
            return n 
        mat = [[1, 1], [1, 0]]
        # 只要进行n-1次乘法，带特值，例如n=2，只需要一次乘法
        ans = self.matrix_pow(mat, n - 1)
        """
        [a, b        [1,    
         c, d]        0]
         自然 a * 1 + b * 0 也即a就是答案
        """
        return ans[0][0]

    def matrix_pow(self, a, pow):
        # 单位矩阵
        ret =  [[1, 0], [0, 1]]
        while pow > 0:
            if pow & 1:
                ret = self.matrix_multiply(ret, a)
            pow >>= 1
            a = self.matrix_multiply(a, a)
        return ret

    def matrix_multiply(self, a, b):
        # 特指shape=[2, 2]的矩阵乘法
        c = [[0, 0], [0, 0]]
        for i in range(2):
            for j in range(2):
                c[i][j] = a[i][0] * b[0][j] + a[i][1] * b[1][j]
        return c

1137. 第 N 个泰波那契数 

力扣

泰波那契序列 Tn 定义如下： 

T0 = 0, T1 = 1, T2 = 1, 且在 n >= 0 的条件下 Tn+3 = Tn + Tn+1 + Tn+2

给你整数 n，请返回第 n 个泰波那契数 Tn 的值。

 和上题很像，一：按照递推公式用动态规划；二：矩阵快速幂

class Solution(object):
    def tribonacci(self, n):
        if n <= 1:
            return n 
        if n == 2:
            return 1

        mat = [[1, 1, 1], [1, 0, 0], [0, 1, 0]]
        # 只要进行n-2次乘法，带特值，例如n=3，只需要一次乘法
        ans = self.matrix_pow(mat, n - 2)
        """
        [a, b, c        [1,    
         d, d, e,        1,
         f, g, h]        0] 
         自然 a * 1 + b * 1 也即a + b就是答案
        """
        return ans[0][0] + ans[0][1]

    def matrix_pow(self, a, pow):
        # 单位矩阵
        ret =  [[1, 0, 0], [0, 1, 0], [0, 0, 1]]
        while pow > 0:
            if pow & 1:
                ret = self.matrix_multiply(ret, a)
            pow >>= 1
            a = self.matrix_multiply(a, a)
        return ret

    def matrix_multiply(self, a, b):
        # 特指shape=[3, 3]的矩阵乘法
        c = [[0, 0, 0], [0, 0, 0], [0, 0, 0]]
        for i in range(3):
            for j in range(3):
                c[i][j] = a[i][0] * b[0][j] + a[i][1] * b[1][j] + a[i][2] * b[2][j]
        return c